Зависимые и независимые случайные величины

Случайная величина Y называется независимой от случайной величины X, если закон распределения Y не зависит от того, какое значение приняла X (т.е .

.

Момент порядка , центральный момент: . Дли дискретного распределения .

Посчитаем некоторые моменты: . Аналогично .

– корреляционный момент.

Пусть x и y – независимые величины. Тогда и .

Две величины называют некоррелированными, если их корреляционный момент равен 0, иначе – коррелированными.

Система произвольного числа случайных величин

Функция распределения: .

Плотность распределения: .

Функция вероятности одной величины: ; плотность вероятности одной величины: .

Частная функция распределения: .

Условные вероятности: .

Числовые характеристики:

1. .

2. .

3. .

4. Корреляционная матрица: . Эта матрица симметрична: . Если она диагональная, то система независима.

Нормальное распределение для двумерной случайной величины: , где . При этом , .

Законы распределения и числовые характеристики функции случайных величин

Будем рассматривать функцию одной переменной: . В случае дискретного x задаётся ряд, т.е. каждому ставится в соответствие вероятность его выпадения . Тогда по закону можно величинам поставить в соответствие те же вероятности . При этом их надо упорядочить в монотонно возрастающем порядке и, если и , то .

Математической ожидание: .

Теоремы о числовых характеристиках

1. , где C – не случайная величина.

2. , где C – не случайная величина.

3. .

4. .

5. .

Доказательство последнего пункта: .

Аналогично .

6. Если , то .

7. .

8. .

Закон распределения монотонной функции одного случайного элемента.

Пусть функция задана так: , причём монотонно возрастает на . Тогда Плотность распределения , где – функция распределения Y, , где – функция распределения величины X, t – просто переменная интегрирования. Т.к. монотонна, то существует функция , обратная ей. Тогда . Если убывает, то , ну а в общем случае .

Закон распределения немонотонной функции одного случайного аргумента

Ф ункция распределения . Плотность распределения .

Закон распределения функции двух случайных величин

. Будем рассматривать более простой случай .

Ф ункция распределения . Плотность распределения .

Закон распределения суммы двух случайных величин. Композиция законов распределения.

. Если x и y – независимы, то .

Если и – нормальные распределения, то . Видно, что распределение нормальное, причём .

Предельные теоремы теории вероятностей

Неравенство Чебышева: Каково бы ни было , вероятность того, что X отличается от своего математического ожидания не меньше, чем на , ограничено сверху выражением .

.