Плотность распределения случайной величины

Рассмотрим . Средняя вероятность на единицу длины на отрезке .

Производная функции распределения называется плотностью распределения или плотностью вероятности или дифференциальным законом распределения.

Свойства плотности вероятности:

1. .

2. .

.

Числовые характеристики случайных величин

Характеристики положения: математическое ожидание, мода, медиана.

Если задан ряд:

x			…
p			…

то математическое ожидание . Для непрерывной величины .

Мода – координата локального максимума плотности вероятности.

М едиана – такое число, что прямая делит площадь под функцией распределения на две равные части, т.е. .

Момент, дисперсия, среднеквадратичное отклонение

Начальный момент k=го порядка: . Для непрерывного x: .

Видно, что .

Центральный момент k-го порядка: . Для непрерывного x: .

Видно, что .

Дисперсия .

Среднеквадратичное отклонение .

Рассмотрим ; .

1. , где .

2. .

3. .

Величина называется коэффициентом асимметрии.

Величина является характеристикой крутизны кривой.

Для нормального распределения .

Некоторые известные законы распределения случайных величин.

Закон равномерной плотности или равномерного распределения

. Найдём C: . Таким образом, .

. . Моды у этого распределения нет. Медиана . Дисперсия . Среднеквадратичное отклонение . Пусть . Тогда .

Нормальный закон распределения (закон Гаусса)

, где  и m – параметры распределения. . Среднеквадратичное отклонение = .

Центральный момент k-го порядка . Если k – нечётное, то , иначе .

Отсюда следует, что . Эксцесс , что, собственно, следует из его определения.

Показательное распределение

. .

Закон (распределение) Пуассона:

Если задана случайная дискретная величина , то вероятность того, что .

Многоугольник распределения:

.

Биномиальное распределение: .

(бином Ньютона) .

Системы случайных величин или многомерные случайные величины

Ф ункцией распределения двух случайных величин называют вероятность выполнения двух неравенств: , т.е. вероятность попадания в заштрихованную область.

Свойства двумерных функций распределения:

1. Если , то , если , то .

2. .

3. Одномерные функции можно представить через двумерные: .

4. .

.

Вероятность попадания в прямоугольник со сторонами и будет: . Тогда вероятность попадания в какую-то область . Функция – плотность распределения.

Плотности распределения отдельных величин, входящих в систему случайных величин. Условные законы распределения.

Пусть заданы функции распределения и . Тогда , где – функция плотности распределения для . Тогда .

Условным законом распределения величины x, входящих в систему называется её закон распределения, вычисленный при условии, что другая величина Y приняла определённое значение y.

Вероятность попадания в прямоугольник со сторонами и где и – два события. Тогда . Следовательно, Таким образом, .

Двумерный ряд распределения:

X                             Y			…
			…
			…
…	…	…	…	…
			…

. При этом (сокращённо) .