Последовательность независимых испытаний (схема Бернулли)

Вероятность того, что в m опытах из n произойдёт какое-то событие .

Рассмотрим . Очевидно, что . Если – целое число, то максимум достигается в точках и , иначе в точках .

Если , то , т.е. .

Локальная предельная теорема Муавра-Лапласа: Если вероятность наступления некоторого события A в n независимых испытаний постоянна и равна p, то вероятность того, что в этих испытаниях событие A наступит ровно m раз, удовлетворяет при соотношению равномерно для , для которых находится в каком-либо конечном интервале.

при . Далее, . Таким образом, , где (т.к. при ) и . .

Вероятность того, что при n испытаниях событие произойдёт от до раз: .

Интегральная теорема Муавра-Лапласа: Если m – число наступлений события при n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность этого события – p , то равномерно относительно a и b при будет: , где .

Из локальной предельной теоремы Муавра-Лапласа следует, что , где при . Рассмотрим разность . Тогда . Следовательно, . При , следовательно, .

– функция Гаусса.

– функция Лапласа.

Таким образом, .

Для для будет , где p – вероятность появления события в одном испытании, – классическая вероятность этого события.

Рассмотрим (т.к. – нечётная функция) = , следовательно, .

Эти формулы наиболее эффективны при p близком к или при очень больших n.

Теорема Пуассона: Пусть в схеме независимых испытаний величина остаётся постоянной при . Тогда для и  будет: – формула Пуассона.

.

, следовательно, максимум получается при , т.е. наивероятнейшее количество удачных опытов , если  – дробное и и , если  – целое.

Случайные величины и функции распределения

Величина является случайной, если она в результате опыта может принять то или иное значение, которое заранее предсказать невозможно.

Функция, заданная на пространстве событий  является случайной величиной ( , где  – элементарное событие).

– реализация случайной величины.

X			…
P			…

Таблица такого вида называется рядом распределения (здесь – вероятности, соответствующие величинам ).

Многоугольник (полигон) распределения:

Ф ункция распределения случайных величин

Функция распределения – это вероятность того, что величина X попадёт в интервал (интегральный закон распределения). Для дискретного X .

Свойства функции распределения:

1. не убывает, т.е. если , то .

2. .

3. .

Вероятность попадания случайной величины на заданный участок .

Пусть . Тогда , следовательно, .