
- •Содержание
- •Введение
- •Глава 1 Основные понятия.
- •1.1Вводные понятия.
- •1.2Непосредственный подсчёт вероятностей
- •1.3Частота или статическая вероятность.
- •Глава 2Аксиоматика теории вероятности. Правила умножения и сложения и их свойства.
- •2.1Элементарные сведения из теории множеств.
- •2.2Аксиомы теории вероятностей и их следствия. Правило сложения вероятностей.
- •2.3Комбинаторика. Классические модели. Примеры.
- •2.4Геометрическая модель.
- •2.5Условная вероятность события. Правило умножения вероятностей.
- •2.6Формула полной вероятности.
- •2.7Теорема гипотез (Формула Бейеса).
- •Глава 3Случайные величины, их законы распределения.
- •3.1Понятие случайной величины. Законы распределения. Ряд распределения дискретной случайной величины.
- •3.2Функция распределения случайной величины. Её свойства.
- •3.3Функция распределения дискретной с. В. Индикатор события.
- •3.4Непрерывная случайная величина. Плотность распределения.
- •Глава 4Числовые характеристики случайных величин.
- •4.1Роль и назначение числовых характеристик. Математическое ожидание случайной величины.
- •4.2 Моменты. Дисперсия. Среднее квадратичное отклонение.
- •Глава 5Некоторые важные для практики распределения дискретных с. В.
- •5.1Аппарат производящей функции.
- •5.2Испытания Бернулли.
- •5.3Биноминальное распределение.
- •5.4Распределение Пуассона.
- •5.5Геометрическое распределение.
- •5.6Гипергеометрическое распределение.
- •Глава 6Некоторые важные для практики распределения непрерывных случайных величин.
- •6.1Равномерное распределение.
- •6.2Показательное распределение.
- •6.3Нормальное распределение.
- •6.4Гамма - распределение и распределение Эрлана.
- •Глава 7Системы случайных величин (случайные векторы).
- •7.1Понятие о системе случайных величин.
- •7.2Функция распределения системы двух случ. Величин.
- •7.3Система двух дискретных случ. Величин. Матрица распределения.
- •7.4Система двух непрерывных случ. Величин. Совместная плотность распределения.
- •7.5Зависимые и независимые случ. Величины. Условные законы распределения.
- •7.6Числовые характеристики системы двух с.В. Ковариация и коэффициент корреляции.
- •7.7Условные числовые характеристики системы случайных величин (х,у). Регрессия.
- •7.8Закон распределения и числовые характеристики n-мерного случайного вектора.
- •Лекции « Теория вероятности и математическая статистика »
- •Раздел 2
- •«Математическая статистика.» Глава 8Основы математической теории выборочного метода.
- •8.1Понятие о выборочном методе. Способы образования выборочной совокупности.
- •8.2Характеристики генеральной и выборочной совокупности.
- •8.3Эмпирическая функция распределения.
- •Глава 9Статистическое оценивание параметров распределения.
- •9.1Понятие об оценке параметров.
- •9.2Основные свойства оценок.
- •1) Несмещенность
- •2) Эффективность
- •3) Состоятельность
- •9.3Оценка математического ожидания и дисперсии по выборке.
- •9.4Метод наибольшего правдоподобия.
- •9.5Распределение средней арифметической для выборок из нормальной совокупности. Распределение Стьюдента.
- •9.6Распределение дисперсии в выборках из нормальной генеральной совокупности. Распределение Пирсона.
- •9.7Понятие доверительного интервала. Доверительная вероятность.
- •9.8 Построение доверительного интервала для математического ожидания при известной .
- •9.9Построение доверительного интервала для математического ожидания при неизвестной .
- •9.10Построение доверительного интервала для дисперсии.
- •Глава 10Проверка статистических гипотез.
- •10.1Понятие статистической гипотезы. Общая постановка задачи проверки гипотез.
- •10.2Проверка гипотезы о равенстве центров распределений двух нормальных генеральных совокупностей при известном .
- •10.3Проверка гипотезы о равенстве центров распределения нормальных генеральных совокупностей при неизвестном .
- •10.5Проверка гипотез о законе распределения. Критерий согласия .
- •10.6Вычисление объёма выборки.
- •Глава 11Основы дисперсионного анализа.
- •11.1Основная идея дисперсионного анализа.
- •11.2Однофакторный комплекс.
- •11.3Двухфакторный комплекс.
- •11.4Дисперсионный анализ с равным числом наблюдения в ячейке.
- •11.5Дисперсионный анализ с неравным числом наблюдений в ячейке.
- •Глава 12Основы корреляционного анализа.
- •12.1О связях функциональных, стохастических, статистических и корреляционных.
- •12.2Определение формы связи. Понятие регрессии.
- •12.3 Поле корреляции.
- •12.4Линейная регрессия. Понятие о способе наименьших квадратов.
- •12.5Кривые регрессии. Нелинейная регрессия.
- •12.6Измерение тесноты связи. Эмпирическое корреляционное отношение.
Глава 4Числовые характеристики случайных величин.
4.1Роль и назначение числовых характеристик. Математическое ожидание случайной величины.
Выше мы привели законы распределения, среди них функция распределения и ряд распределения для дискретных величин, которые почти полностью описывают вероятность с. в.
Но не всегда возможно, а иногда просто нет надобности сложных вычислений ф. р., чтобы описать разброс той или иной с. в. Часто достаточно воспользоваться какими – либо числами, характеризующими с. в. (например: среднее или что – нибудь типа,, степени случайности,,)
Опр. Числовыми характеристиками с. в. называются числа, способные выразить в сжатой форме наиболее существенные черты распределения.
Умение применять теорию вероятностей для решения практических задач в значительной мере определяется искусством пользоваться числовыми характеристиками случайных величин, оставляя в стороне законы распределения.
Опр. Характеристика положения - это определённая числовая характеристика с. в., описывающая её положение на числовой оси.
Одна из таких характеристик положения есть математическое ожидание (иногда её называют просто средним значением)
Опр. Математическим ожиданием дискретной с. в. называется сумма произведение всех возможных её значений на вероятности этих значений.
т.к.
Для бесконечного числа элементов дискретной с. в.:
Сложность здесь может возникнуть, если ряд не будет сходиться.
Для не дискретной с. в. (из определения интеграла):
Для частотной модели:
n количество опытов
с. в. Х { x1, x2, …, xn}
ni -
выпадение xi
значения
Среднее арифметическое есть:
Но ni/n
- есть частота рi*,
т. е.
А известно, что при увеличении n рi* приближается к pi.
Так же существуют и другие характеристики положения.
Опр. Модой с. в. называется её наиболее вероятное значение (то, для которого вероятность pi или плотность распределения f(x) достигает максимума).
Опр. Если вероятность или плотность вероятности достигают не в одной, а в нескольких точках, то распределение называется полимодальным
Опр. Медианой непрерывной с. в. называется такое её значение xm, для которого P{X<xm} = P{X>xm}=1/2
Пример 1: Найти мат. ожидание и моду для дискретной с. в. Х, имеющей ряд распределения:
-
X:
0
1
2
3
0.1
0.3
0.5
0,1
Решение:
M[X] = 0*0,1+1*0,3+
+2*0,5+3*0,1=1,6
Мода с. в. Х Мх=2
Пример 2: Непрерывная с. в. имеет плотность f(x)=(sin x)/2 при х(0, ).
Найти мат. ожидание, моду и медиану хm с. в. Х.
Решение:
Мода: Mх=/2
Медиана: т. к. пощади слева и справа от точки /2 равны, то хm =/2
4.2 Моменты. Дисперсия. Среднее квадратичное отклонение.
Опр. Начальным моментом S
–го порядка с. в. Х называется мат.
ожидание Sой степени
этой величины:
Или
А для непрерывной с. в.:
Мат. ожидание - есть начальный момент первого порядка.
Опр. Центрированной с. в. называется
отношение с. в. от её мат. ожидания:
Опр. Центральным моментом порядка S с. в. Х называется мат. ожидание S-ой степени центрированной с. в.:
Для дискретной с. в.:
Для непрерывной с. в.:
Центральный момент первого порядка:
Второго порядка:
Третьего порядка:
Аналогично:
Опр. Дисперсией с. в. есть
мат. ожидание квадрата соответствующей
центрированной величины:
Для дискретной с. в.:
Для непрерывной:
Замечание:
Дисперсия есть характеристика рассеивания, разбросанности с. в. около её мат. ожидания.
Опр. Средним квадратичным отклонением с. в. называется величина, равная квадратному корню из дисперсии:
Т
ретий
центральный момент характеризует
асимметрию распределения:
- коэффициент асимметрии.
Четвёртый центральный момент 4 служит характеристикой крутости.
Эксцесс:
Свойства мат. ожидания и дисперсии.
1) I) Математическое ожидание неслучайной величины С равно самой величине С:
М [С] = С
II) Дисперсия неслучайной величины С равна нулю:
D [C] = 0
2) I) При прибавлении к с.в. Х неслучайной величины С к её мат. ожиданию прибавляется та же величина:
M [ X+C] = M [ X ] + C
II) а её дисперсия не меняется:
D [ X+C ] = D [ X ]
3) I) При умножении с. в. Х на неслучайную величину С на ту же величину С умножается её мат. ожидание:
M [ C*X ] = C*M[ X ]
II) Дисперсия умножается на С2:
D [ C*X ] = C2 M [ X ]