
- •Содержание
- •Введение
- •Глава 1 Основные понятия.
- •1.1Вводные понятия.
- •1.2Непосредственный подсчёт вероятностей
- •1.3Частота или статическая вероятность.
- •Глава 2Аксиоматика теории вероятности. Правила умножения и сложения и их свойства.
- •2.1Элементарные сведения из теории множеств.
- •2.2Аксиомы теории вероятностей и их следствия. Правило сложения вероятностей.
- •2.3Комбинаторика. Классические модели. Примеры.
- •2.4Геометрическая модель.
- •2.5Условная вероятность события. Правило умножения вероятностей.
- •2.6Формула полной вероятности.
- •2.7Теорема гипотез (Формула Бейеса).
- •Глава 3Случайные величины, их законы распределения.
- •3.1Понятие случайной величины. Законы распределения. Ряд распределения дискретной случайной величины.
- •3.2Функция распределения случайной величины. Её свойства.
- •3.3Функция распределения дискретной с. В. Индикатор события.
- •3.4Непрерывная случайная величина. Плотность распределения.
- •Глава 4Числовые характеристики случайных величин.
- •4.1Роль и назначение числовых характеристик. Математическое ожидание случайной величины.
- •4.2 Моменты. Дисперсия. Среднее квадратичное отклонение.
- •Глава 5Некоторые важные для практики распределения дискретных с. В.
- •5.1Аппарат производящей функции.
- •5.2Испытания Бернулли.
- •5.3Биноминальное распределение.
- •5.4Распределение Пуассона.
- •5.5Геометрическое распределение.
- •5.6Гипергеометрическое распределение.
- •Глава 6Некоторые важные для практики распределения непрерывных случайных величин.
- •6.1Равномерное распределение.
- •6.2Показательное распределение.
- •6.3Нормальное распределение.
- •6.4Гамма - распределение и распределение Эрлана.
- •Глава 7Системы случайных величин (случайные векторы).
- •7.1Понятие о системе случайных величин.
- •7.2Функция распределения системы двух случ. Величин.
- •7.3Система двух дискретных случ. Величин. Матрица распределения.
- •7.4Система двух непрерывных случ. Величин. Совместная плотность распределения.
- •7.5Зависимые и независимые случ. Величины. Условные законы распределения.
- •7.6Числовые характеристики системы двух с.В. Ковариация и коэффициент корреляции.
- •7.7Условные числовые характеристики системы случайных величин (х,у). Регрессия.
- •7.8Закон распределения и числовые характеристики n-мерного случайного вектора.
- •Лекции « Теория вероятности и математическая статистика »
- •Раздел 2
- •«Математическая статистика.» Глава 8Основы математической теории выборочного метода.
- •8.1Понятие о выборочном методе. Способы образования выборочной совокупности.
- •8.2Характеристики генеральной и выборочной совокупности.
- •8.3Эмпирическая функция распределения.
- •Глава 9Статистическое оценивание параметров распределения.
- •9.1Понятие об оценке параметров.
- •9.2Основные свойства оценок.
- •1) Несмещенность
- •2) Эффективность
- •3) Состоятельность
- •9.3Оценка математического ожидания и дисперсии по выборке.
- •9.4Метод наибольшего правдоподобия.
- •9.5Распределение средней арифметической для выборок из нормальной совокупности. Распределение Стьюдента.
- •9.6Распределение дисперсии в выборках из нормальной генеральной совокупности. Распределение Пирсона.
- •9.7Понятие доверительного интервала. Доверительная вероятность.
- •9.8 Построение доверительного интервала для математического ожидания при известной .
- •9.9Построение доверительного интервала для математического ожидания при неизвестной .
- •9.10Построение доверительного интервала для дисперсии.
- •Глава 10Проверка статистических гипотез.
- •10.1Понятие статистической гипотезы. Общая постановка задачи проверки гипотез.
- •10.2Проверка гипотезы о равенстве центров распределений двух нормальных генеральных совокупностей при известном .
- •10.3Проверка гипотезы о равенстве центров распределения нормальных генеральных совокупностей при неизвестном .
- •10.5Проверка гипотез о законе распределения. Критерий согласия .
- •10.6Вычисление объёма выборки.
- •Глава 11Основы дисперсионного анализа.
- •11.1Основная идея дисперсионного анализа.
- •11.2Однофакторный комплекс.
- •11.3Двухфакторный комплекс.
- •11.4Дисперсионный анализ с равным числом наблюдения в ячейке.
- •11.5Дисперсионный анализ с неравным числом наблюдений в ячейке.
- •Глава 12Основы корреляционного анализа.
- •12.1О связях функциональных, стохастических, статистических и корреляционных.
- •12.2Определение формы связи. Понятие регрессии.
- •12.3 Поле корреляции.
- •12.4Линейная регрессия. Понятие о способе наименьших квадратов.
- •12.5Кривые регрессии. Нелинейная регрессия.
- •12.6Измерение тесноты связи. Эмпирическое корреляционное отношение.
2.6Формула полной вероятности.
Следствием общих основных правил теории вероятностей: правил сложения и умножения - является формула полной вероятности.
Теорема
Допустим, что существуют
- взаимоисключающие друг друга гипотезы
(предположения).
Пусть известны их вероятности:
Рассматривается некоторое событие А,
которое может появиться только вместе
с одной из гипотез
.
Известны
Требуется найти вероятность события
А.
Вывод:
По правилу сложения вероятностей:
По правилу умножения:
Формула полной вероятности:
Т. е. безусловная вероятность события А в опыте с гипотетическими условиями вычисляется как сумма произведений вероятности каждой гипотезы на условную вероятность события при этой гипотезе.
Пример:
Имеются три одинаковые на вид урны:
В первой находятся 2 белых и 3 чёрных шара, во второй - 4 белых и 1 чёрный и в третей - 3 белых шара. Человек произвольно подходит к одной из урн и вытаскивает один шар. Какова вероятность, что шар белый ?
Решение:
А - вытащили белый шар
- выбрана первая урна.
- выбрана вторая урна.
- выбрана третья урна.
2.7Теорема гипотез (Формула Бейеса).
Теорема:
До опыта можно сделать n гипотез , таких что
(условие полной группы)
(условие несовместности)
Вероятность гипотез до опыта:
(априорные вероятности).
Опыт произведён. Произошло событие А.
Найти (апостериорные) вероятности
гипотез при условии, что опыт дал
результат А:
Формула Бейеса:
Возьмём любую
Из правила умножения вероятностей:
Делим на
,
получаем
Теперь подставим формулу полной вероятности для , получаем
Ввиду произвольности i эта формула подходит любой гипотезе.
Пример:
Имеется три урны: В первой - 3 белых и 1 чёрный, во второй - 2 белых и 3 чёрных и в третей - 3 белых. Человек произвольно подходит к одной из них и вынимает один шар. Шар оказался белым.
Найти после опытные (апостериорные) вероятности того, что шар вынут из 1 - й, 2 - й, 3 - й урны.
Решение:
А - вытащили белый шар.
- выбрана первая урна.
- выбрана вторая урна.
- выбрана третья урна.
Априорные вероятности:
Условные вероятности события А при гипотезах , , :
По формуле Бейеса:
Апостериорные вероятности гипотез:
Таким образом в свете информации о появлении события А вероятности гипотез изменились: самой вероятной стала 3 - я гипотеза, наименее вероятной - 2 -я гипотеза.
Глава 3Случайные величины, их законы распределения.
3.1Понятие случайной величины. Законы распределения. Ряд распределения дискретной случайной величины.
Опр. Под случайной величиной понимается величина, которая в результате опыта со случайным исходом принимает то или иное значение.
Опр. Множеством возможных значений случайной величины - называется множество всевозможных значений, которые может принимать с. в. в результате опыта.
Обозначим:
– случайная величина
– i - ое возможное
значение с. в.
Примеры:
1). количество очков при бросании игральной кости:
2). Количество студентов на паре
3). время работы отремонтированного станка:
Опр. Дискретная с. в. - это с. в. множество значений которой счётно.
В противном случае с. в. - не дискретная.
В примерах 1) и 2) из выше перечисленных с.в.– дискретны, а пример 3) - с.в.– непрерывна.
Опр. Законом распределения с. в. - называется любое правило (таблица, функция) позволяющее находить вероятности всевозможных событий, связанных со с. в.
Опр. Рядом распределения с. в.
называется таблица. в верхней строке
которой перечислены в порядке возрастания
всевозможные значения с. в.
:
,
а в нижней - вероятности этих значений:
,
где
Замечание:
Ряд распределения является законом распределения, т.к. в его таблице уже содержатся вероятности событий связанных с ему соответствующей с.в.
Пример:
Рассматривается работа трёх независимо работающих тех. устройства (ТУ); вероятность того, что первое ТУ работает нормально - 0.2, второго - 0.4, третьего - 0.5.
С. в. Х - число работающих ТУ. Построить ряд распределения с. в. Х.
Решение:
Возможные значения с. в. Х: 0, 1, 2, 3.
Обозначим “ + “ - нормальная работа ТУ,
“ - “ - наоборот.
Геометрическая интерпретация.
Опр. Графическое изображение ряда распределения называется многоугольником распределения.
Рис. Многоугольник распределения