Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Тер.Вер.-ЛЕКЦИИ7.doc
Скачиваний:
13
Добавлен:
08.05.2019
Размер:
4.38 Mб
Скачать

2.6Формула полной вероятности.

Следствием общих основных правил теории вероятностей: правил сложения и умножения - является формула полной вероятности.

Теорема

Допустим, что существуют - взаимоисключающие друг друга гипотезы (предположения).

Пусть известны их вероятности:

Рассматривается некоторое событие А, которое может появиться только вместе с одной из гипотез . Известны Требуется найти вероятность события А.

Вывод:

По правилу сложения вероятностей:

По правилу умножения:

Формула полной вероятности:

Т. е. безусловная вероятность события А в опыте с гипотетическими условиями вычисляется как сумма произведений вероятности каждой гипотезы на условную вероятность события при этой гипотезе.

Пример:

Имеются три одинаковые на вид урны:

В первой находятся 2 белых и 3 чёрных шара, во второй - 4 белых и 1 чёрный и в третей - 3 белых шара. Человек произвольно подходит к одной из урн и вытаскивает один шар. Какова вероятность, что шар белый ?

Решение:

А - вытащили белый шар

- выбрана первая урна.

- выбрана вторая урна.

- выбрана третья урна.

2.7Теорема гипотез (Формула Бейеса).

Теорема:

До опыта можно сделать n гипотез , таких что

(условие полной группы)

(условие несовместности)

Вероятность гипотез до опыта:

(априорные вероятности).

Опыт произведён. Произошло событие А.

Найти (апостериорные) вероятности гипотез при условии, что опыт дал результат А:

Формула Бейеса:

Возьмём любую

Из правила умножения вероятностей:

Делим на , получаем

Теперь подставим формулу полной вероятности для , получаем

Ввиду произвольности i эта формула подходит любой гипотезе.

Пример:

Имеется три урны: В первой - 3 белых и 1 чёрный, во второй - 2 белых и 3 чёрных и в третей - 3 белых. Человек произвольно подходит к одной из них и вынимает один шар. Шар оказался белым.

Найти после опытные (апостериорные) вероятности того, что шар вынут из 1 - й, 2 - й, 3 - й урны.

Решение:

А - вытащили белый шар.

- выбрана первая урна.

- выбрана вторая урна.

- выбрана третья урна.

Априорные вероятности:

Условные вероятности события А при гипотезах , , :

По формуле Бейеса:

Апостериорные вероятности гипотез:

Таким образом в свете информации о появлении события А вероятности гипотез изменились: самой вероятной стала 3 - я гипотеза, наименее вероятной - 2 -я гипотеза.

Глава 3Случайные величины, их законы распределения.

3.1Понятие случайной величины. Законы распределения. Ряд распределения дискретной случайной величины.

Опр. Под случайной величиной понимается величина, которая в результате опыта со случайным исходом принимает то или иное значение.

Опр. Множеством возможных значений случайной величины - называется множество всевозможных значений, которые может принимать с. в. в результате опыта.

Обозначим: случайная величина

i - ое возможное значение с. в.

Примеры:

1). количество очков при бросании игральной кости:

2). Количество студентов на паре

3). время работы отремонтированного станка:

Опр. Дискретная с. в. - это с. в. множество значений которой счётно.

В противном случае с. в. - не дискретная.

В примерах 1) и 2) из выше перечисленных с.в.– дискретны, а пример 3) - с.в.– непрерывна.

Опр. Законом распределения с. в. - называется любое правило (таблица, функция) позволяющее находить вероятности всевозможных событий, связанных со с. в.

Опр. Рядом распределения с. в. называется таблица. в верхней строке которой перечислены в порядке возрастания всевозможные значения с. в. : , а в нижней - вероятности этих значений: , где

Замечание:

Ряд распределения является законом распределения, т.к. в его таблице уже содержатся вероятности событий связанных с ему соответствующей с.в.

Пример:

Рассматривается работа трёх независимо работающих тех. устройства (ТУ); вероятность того, что первое ТУ работает нормально - 0.2, второго - 0.4, третьего - 0.5.

С. в. Х - число работающих ТУ. Построить ряд распределения с. в. Х.

Решение:

Возможные значения с. в. Х: 0, 1, 2, 3.

Обозначим “ + “ - нормальная работа ТУ,

“ - “ - наоборот.

Геометрическая интерпретация.

Опр. Графическое изображение ряда распределения называется многоугольником распределения.

Рис. Многоугольник распределения