
- •Содержание
- •Введение
- •Глава 1 Основные понятия.
- •1.1Вводные понятия.
- •1.2Непосредственный подсчёт вероятностей
- •1.3Частота или статическая вероятность.
- •Глава 2Аксиоматика теории вероятности. Правила умножения и сложения и их свойства.
- •2.1Элементарные сведения из теории множеств.
- •2.2Аксиомы теории вероятностей и их следствия. Правило сложения вероятностей.
- •2.3Комбинаторика. Классические модели. Примеры.
- •2.4Геометрическая модель.
- •2.5Условная вероятность события. Правило умножения вероятностей.
- •2.6Формула полной вероятности.
- •2.7Теорема гипотез (Формула Бейеса).
- •Глава 3Случайные величины, их законы распределения.
- •3.1Понятие случайной величины. Законы распределения. Ряд распределения дискретной случайной величины.
- •3.2Функция распределения случайной величины. Её свойства.
- •3.3Функция распределения дискретной с. В. Индикатор события.
- •3.4Непрерывная случайная величина. Плотность распределения.
- •Глава 4Числовые характеристики случайных величин.
- •4.1Роль и назначение числовых характеристик. Математическое ожидание случайной величины.
- •4.2 Моменты. Дисперсия. Среднее квадратичное отклонение.
- •Глава 5Некоторые важные для практики распределения дискретных с. В.
- •5.1Аппарат производящей функции.
- •5.2Испытания Бернулли.
- •5.3Биноминальное распределение.
- •5.4Распределение Пуассона.
- •5.5Геометрическое распределение.
- •5.6Гипергеометрическое распределение.
- •Глава 6Некоторые важные для практики распределения непрерывных случайных величин.
- •6.1Равномерное распределение.
- •6.2Показательное распределение.
- •6.3Нормальное распределение.
- •6.4Гамма - распределение и распределение Эрлана.
- •Глава 7Системы случайных величин (случайные векторы).
- •7.1Понятие о системе случайных величин.
- •7.2Функция распределения системы двух случ. Величин.
- •7.3Система двух дискретных случ. Величин. Матрица распределения.
- •7.4Система двух непрерывных случ. Величин. Совместная плотность распределения.
- •7.5Зависимые и независимые случ. Величины. Условные законы распределения.
- •7.6Числовые характеристики системы двух с.В. Ковариация и коэффициент корреляции.
- •7.7Условные числовые характеристики системы случайных величин (х,у). Регрессия.
- •7.8Закон распределения и числовые характеристики n-мерного случайного вектора.
- •Лекции « Теория вероятности и математическая статистика »
- •Раздел 2
- •«Математическая статистика.» Глава 8Основы математической теории выборочного метода.
- •8.1Понятие о выборочном методе. Способы образования выборочной совокупности.
- •8.2Характеристики генеральной и выборочной совокупности.
- •8.3Эмпирическая функция распределения.
- •Глава 9Статистическое оценивание параметров распределения.
- •9.1Понятие об оценке параметров.
- •9.2Основные свойства оценок.
- •1) Несмещенность
- •2) Эффективность
- •3) Состоятельность
- •9.3Оценка математического ожидания и дисперсии по выборке.
- •9.4Метод наибольшего правдоподобия.
- •9.5Распределение средней арифметической для выборок из нормальной совокупности. Распределение Стьюдента.
- •9.6Распределение дисперсии в выборках из нормальной генеральной совокупности. Распределение Пирсона.
- •9.7Понятие доверительного интервала. Доверительная вероятность.
- •9.8 Построение доверительного интервала для математического ожидания при известной .
- •9.9Построение доверительного интервала для математического ожидания при неизвестной .
- •9.10Построение доверительного интервала для дисперсии.
- •Глава 10Проверка статистических гипотез.
- •10.1Понятие статистической гипотезы. Общая постановка задачи проверки гипотез.
- •10.2Проверка гипотезы о равенстве центров распределений двух нормальных генеральных совокупностей при известном .
- •10.3Проверка гипотезы о равенстве центров распределения нормальных генеральных совокупностей при неизвестном .
- •10.5Проверка гипотез о законе распределения. Критерий согласия .
- •10.6Вычисление объёма выборки.
- •Глава 11Основы дисперсионного анализа.
- •11.1Основная идея дисперсионного анализа.
- •11.2Однофакторный комплекс.
- •11.3Двухфакторный комплекс.
- •11.4Дисперсионный анализ с равным числом наблюдения в ячейке.
- •11.5Дисперсионный анализ с неравным числом наблюдений в ячейке.
- •Глава 12Основы корреляционного анализа.
- •12.1О связях функциональных, стохастических, статистических и корреляционных.
- •12.2Определение формы связи. Понятие регрессии.
- •12.3 Поле корреляции.
- •12.4Линейная регрессия. Понятие о способе наименьших квадратов.
- •12.5Кривые регрессии. Нелинейная регрессия.
- •12.6Измерение тесноты связи. Эмпирическое корреляционное отношение.
2.2Аксиомы теории вероятностей и их следствия. Правило сложения вероятностей.
Пусть производится некоторый опыт со
случайным исходом. Рассмотрим множество
всех возможных исходов опыта; каждый
его элемент
будем называть элементарным событием,
а все множество
- пространством элементарных событий.
Опр. Если событие А распадается на
несколько непересекающихся подмножеств
,
то будем называть события
“вариантами” события А.
- достоверное событие.
- невозможное событие.
Примечание: Как уже отмечалось есть два вида определений одного и тогоже: математическое и логическое. Первое удобно при решении задач, второе предназначено для описания реальных событий.
Опр. Говорят, что несколько событий в данном опыте образуют полную группу, если в результате опыта неизбежно должно появиться хотя бы одно из них.
Опр. Несколько событий
образуют полную группу если
.
Опр. Несколько событий в данном опыте называются несовместными, если никакие два из них не могут появиться вместе.
Опр. Два события А и В называется
несовместными если
Опр. Несколько событий
называются попарно несовместными
если
Опр. Противоположным событию А называется событие состоящее в не появлении события А.
Пример: А - выпадение герба
- не выпадение герба
Опр. Суммой двух событий А и В называется событие С, состоящее в выполнении события А или В, или обоих событий вместе.
Опр. Произведением двух событий А и В называется событие, состоящее в выполнении событий А и В вместе.
Примечание: Математические определения суммы и произведения событий приведены в параграфе 2.2.
Аксиомы теории вероятностей.
Пусть каждому событию А ставится в соответствии некоторое число, называемое вероятностью события.
1. Вероятность любого события заключена между нулём и единицей:
2. Если А и В несовместные события
,
то
Обобщая
3. Если имеется счётное множество несовместных событий ,..., то
Опр. События называются равновозможными, если
Следствие аксиом:
Опр. Благоприятным случаем событию А называется случай влекущий за собой данное событие А.
“Классическая” формула подсчёта вероятностей:
Теорема:
Пусть результаты опыта могут быть представлены в виде группы событий удовлетворяющих условиям:
1. (образуют полную группу)
2.
(попарно несовместные)
3. (равновозможные).
Пусть есть
из этих событий благоприятны событию
А
тогда
Доказательство:
Т. к.
образуют полную группу, то
,
и следует
Т. к. несовместны, то
Объединяем выше сказанное
Т. к. равновозможны, то
Следствие 1.
Сумма вероятностей полной группы несовместных событий равна единице, т. е. если
и
то
Дополнение: Сумма вероятностей противоположных событий равна единице
Следствие 2. Правило сложения вероятностей.
Если события А и В совместны
,
то
Доказательство:
Представим
но
откуда
подставляем и получим
Аналогично получим.
2.3Комбинаторика. Классические модели. Примеры.
1. Распределение Максвелла-Больцмана:
Задача:
r шаров в n
ячейках, таких что
- максимальные числа шаров в каждой из
ячеек, где все
размещений равновероятны
2. Статистика Бозе - Эйнштейна
Задача:
r частиц в n ячейках. Рассматриваются только различимые размещения, и каждому из них приписывается вероятность:
3. Статистика Ферми - Дирака
Задача:
Та же задача, но
1) в одной ячейке не могут находиться более одной частиц.
2) все различимые размещения, удовлетворяющие первому условию, имеют одинаковую вероятность.