
- •Содержание
- •Введение
- •Глава 1 Основные понятия.
- •1.1Вводные понятия.
- •1.2Непосредственный подсчёт вероятностей
- •1.3Частота или статическая вероятность.
- •Глава 2Аксиоматика теории вероятности. Правила умножения и сложения и их свойства.
- •2.1Элементарные сведения из теории множеств.
- •2.2Аксиомы теории вероятностей и их следствия. Правило сложения вероятностей.
- •2.3Комбинаторика. Классические модели. Примеры.
- •2.4Геометрическая модель.
- •2.5Условная вероятность события. Правило умножения вероятностей.
- •2.6Формула полной вероятности.
- •2.7Теорема гипотез (Формула Бейеса).
- •Глава 3Случайные величины, их законы распределения.
- •3.1Понятие случайной величины. Законы распределения. Ряд распределения дискретной случайной величины.
- •3.2Функция распределения случайной величины. Её свойства.
- •3.3Функция распределения дискретной с. В. Индикатор события.
- •3.4Непрерывная случайная величина. Плотность распределения.
- •Глава 4Числовые характеристики случайных величин.
- •4.1Роль и назначение числовых характеристик. Математическое ожидание случайной величины.
- •4.2 Моменты. Дисперсия. Среднее квадратичное отклонение.
- •Глава 5Некоторые важные для практики распределения дискретных с. В.
- •5.1Аппарат производящей функции.
- •5.2Испытания Бернулли.
- •5.3Биноминальное распределение.
- •5.4Распределение Пуассона.
- •5.5Геометрическое распределение.
- •5.6Гипергеометрическое распределение.
- •Глава 6Некоторые важные для практики распределения непрерывных случайных величин.
- •6.1Равномерное распределение.
- •6.2Показательное распределение.
- •6.3Нормальное распределение.
- •6.4Гамма - распределение и распределение Эрлана.
- •Глава 7Системы случайных величин (случайные векторы).
- •7.1Понятие о системе случайных величин.
- •7.2Функция распределения системы двух случ. Величин.
- •7.3Система двух дискретных случ. Величин. Матрица распределения.
- •7.4Система двух непрерывных случ. Величин. Совместная плотность распределения.
- •7.5Зависимые и независимые случ. Величины. Условные законы распределения.
- •7.6Числовые характеристики системы двух с.В. Ковариация и коэффициент корреляции.
- •7.7Условные числовые характеристики системы случайных величин (х,у). Регрессия.
- •7.8Закон распределения и числовые характеристики n-мерного случайного вектора.
- •Лекции « Теория вероятности и математическая статистика »
- •Раздел 2
- •«Математическая статистика.» Глава 8Основы математической теории выборочного метода.
- •8.1Понятие о выборочном методе. Способы образования выборочной совокупности.
- •8.2Характеристики генеральной и выборочной совокупности.
- •8.3Эмпирическая функция распределения.
- •Глава 9Статистическое оценивание параметров распределения.
- •9.1Понятие об оценке параметров.
- •9.2Основные свойства оценок.
- •1) Несмещенность
- •2) Эффективность
- •3) Состоятельность
- •9.3Оценка математического ожидания и дисперсии по выборке.
- •9.4Метод наибольшего правдоподобия.
- •9.5Распределение средней арифметической для выборок из нормальной совокупности. Распределение Стьюдента.
- •9.6Распределение дисперсии в выборках из нормальной генеральной совокупности. Распределение Пирсона.
- •9.7Понятие доверительного интервала. Доверительная вероятность.
- •9.8 Построение доверительного интервала для математического ожидания при известной .
- •9.9Построение доверительного интервала для математического ожидания при неизвестной .
- •9.10Построение доверительного интервала для дисперсии.
- •Глава 10Проверка статистических гипотез.
- •10.1Понятие статистической гипотезы. Общая постановка задачи проверки гипотез.
- •10.2Проверка гипотезы о равенстве центров распределений двух нормальных генеральных совокупностей при известном .
- •10.3Проверка гипотезы о равенстве центров распределения нормальных генеральных совокупностей при неизвестном .
- •10.5Проверка гипотез о законе распределения. Критерий согласия .
- •10.6Вычисление объёма выборки.
- •Глава 11Основы дисперсионного анализа.
- •11.1Основная идея дисперсионного анализа.
- •11.2Однофакторный комплекс.
- •11.3Двухфакторный комплекс.
- •11.4Дисперсионный анализ с равным числом наблюдения в ячейке.
- •11.5Дисперсионный анализ с неравным числом наблюдений в ячейке.
- •Глава 12Основы корреляционного анализа.
- •12.1О связях функциональных, стохастических, статистических и корреляционных.
- •12.2Определение формы связи. Понятие регрессии.
- •12.3 Поле корреляции.
- •12.4Линейная регрессия. Понятие о способе наименьших квадратов.
- •12.5Кривые регрессии. Нелинейная регрессия.
- •12.6Измерение тесноты связи. Эмпирическое корреляционное отношение.
10.3Проверка гипотезы о равенстве центров распределения нормальных генеральных совокупностей при неизвестном .
Случ. величины X и Y подчиняются нормальному закону распределения
Для оценки
используется:
В данном случае лучшей оценкой
:
Если справедлива, то:
подчиняется нормальному закону
распределения
Но неизвестно.
В качестве оценки
принимается
Док-во:
=
=
=
t-распределение Стъюдента с
10.4F-распределение и проверка гипотезы о равенстве дисперсий двух нормальных генеральных совокупностей.
Гипотезы о дисперсиях имеют особенно большое значение в технике, т.к. измеряемая дисперсией величина рассеивания характеризует такие исключительно важные показатели, как точность машин и приборов, точность технологических приемов и т. д.
Формулировка задачи:
X и Y подчиняются нормальному закону распределения
и объёмы выборок из X и Y
и дисперсии выборок из X и Y
Оценкой является , а -
Опр. Совместный закон распределения статистик и является F-распределением, или распределением Фишера – Снедекора.
Если
справедливо, то:
Выбрав вероятность p=1-
и по таблице определяем критическое
значение
Вывод: Если вычисленное значение
,то
с надёжностью p=1-
можно считать расхождение средних
значимым (неслучайным)
Рассмотрим случ. величину V – нормально
распределённую с
Произведем две независимые выборки с объёмами и
Для оценки
можно использовать
и
Случайные величины
и
-
распределены по закону
с
и
Опр. Случайная величина
определяемая отношением
называется случайной величиной с распределением Фишера - Снедекора.
Существуют таблицы для F – распределения
в которых
Возвращаемся к задаче
:
Выбрав уровень значимости
по таблице F – распределения находим
-
критическая область
-
область допустимых значений
10.5Проверка гипотез о законе распределения. Критерий согласия .
Во многих практических задачах точный закон распределения используемой случайной величины неизвестен, т.е. является гипотезой, которая требует статистической проверки.
Х – исследуемая случ. величина.
- X подчиняется закону распределения
F(x).
Проводим выборку из n независимых наблюдений.
Строим эмпирическое распределение F*(x)
Сравнение эмпирического F*(x) и теоретического распределений производится с помощью специально подобранной случайной величины - критерия согласия.
Примеры: Пирсона, Колмогорова, Смирнова и др.
Наиболее часто употребим критерий согласия .
Разобьем всю область изменения Х на L интервалов.
-
количество элементов, попавших на i-ый
интервал
По закону распределения F(x) можно
определить
{вероятность
попадания Х на
}
-
теоретическое количество элементов,
попавших на
|
|
… |
|
|
|
… |
|
|
|
… |
|
-
(
)
Если верна, то { } подчиняется биноминальному закону.
При
-à
распределена
нормально
Доказательство:
В литературе доказывается, что:
- имеет распределение
с
k=(n-1)
Величина
при
имеет распределение
с
k=(l-r-1)
(r - число параметров распределения F(x))
Следовательно, в качестве меры расхождения между и для используется критерий:
=
Правило применения критерия .
Выбрав уровень значимости
,
по таблице определяем
Если > , то отвергается
< , то принимается