
- •Содержание
- •Введение
- •Глава 1 Основные понятия.
- •1.1Вводные понятия.
- •1.2Непосредственный подсчёт вероятностей
- •1.3Частота или статическая вероятность.
- •Глава 2Аксиоматика теории вероятности. Правила умножения и сложения и их свойства.
- •2.1Элементарные сведения из теории множеств.
- •2.2Аксиомы теории вероятностей и их следствия. Правило сложения вероятностей.
- •2.3Комбинаторика. Классические модели. Примеры.
- •2.4Геометрическая модель.
- •2.5Условная вероятность события. Правило умножения вероятностей.
- •2.6Формула полной вероятности.
- •2.7Теорема гипотез (Формула Бейеса).
- •Глава 3Случайные величины, их законы распределения.
- •3.1Понятие случайной величины. Законы распределения. Ряд распределения дискретной случайной величины.
- •3.2Функция распределения случайной величины. Её свойства.
- •3.3Функция распределения дискретной с. В. Индикатор события.
- •3.4Непрерывная случайная величина. Плотность распределения.
- •Глава 4Числовые характеристики случайных величин.
- •4.1Роль и назначение числовых характеристик. Математическое ожидание случайной величины.
- •4.2 Моменты. Дисперсия. Среднее квадратичное отклонение.
- •Глава 5Некоторые важные для практики распределения дискретных с. В.
- •5.1Аппарат производящей функции.
- •5.2Испытания Бернулли.
- •5.3Биноминальное распределение.
- •5.4Распределение Пуассона.
- •5.5Геометрическое распределение.
- •5.6Гипергеометрическое распределение.
- •Глава 6Некоторые важные для практики распределения непрерывных случайных величин.
- •6.1Равномерное распределение.
- •6.2Показательное распределение.
- •6.3Нормальное распределение.
- •6.4Гамма - распределение и распределение Эрлана.
- •Глава 7Системы случайных величин (случайные векторы).
- •7.1Понятие о системе случайных величин.
- •7.2Функция распределения системы двух случ. Величин.
- •7.3Система двух дискретных случ. Величин. Матрица распределения.
- •7.4Система двух непрерывных случ. Величин. Совместная плотность распределения.
- •7.5Зависимые и независимые случ. Величины. Условные законы распределения.
- •7.6Числовые характеристики системы двух с.В. Ковариация и коэффициент корреляции.
- •7.7Условные числовые характеристики системы случайных величин (х,у). Регрессия.
- •7.8Закон распределения и числовые характеристики n-мерного случайного вектора.
- •Лекции « Теория вероятности и математическая статистика »
- •Раздел 2
- •«Математическая статистика.» Глава 8Основы математической теории выборочного метода.
- •8.1Понятие о выборочном методе. Способы образования выборочной совокупности.
- •8.2Характеристики генеральной и выборочной совокупности.
- •8.3Эмпирическая функция распределения.
- •Глава 9Статистическое оценивание параметров распределения.
- •9.1Понятие об оценке параметров.
- •9.2Основные свойства оценок.
- •1) Несмещенность
- •2) Эффективность
- •3) Состоятельность
- •9.3Оценка математического ожидания и дисперсии по выборке.
- •9.4Метод наибольшего правдоподобия.
- •9.5Распределение средней арифметической для выборок из нормальной совокупности. Распределение Стьюдента.
- •9.6Распределение дисперсии в выборках из нормальной генеральной совокупности. Распределение Пирсона.
- •9.7Понятие доверительного интервала. Доверительная вероятность.
- •9.8 Построение доверительного интервала для математического ожидания при известной .
- •9.9Построение доверительного интервала для математического ожидания при неизвестной .
- •9.10Построение доверительного интервала для дисперсии.
- •Глава 10Проверка статистических гипотез.
- •10.1Понятие статистической гипотезы. Общая постановка задачи проверки гипотез.
- •10.2Проверка гипотезы о равенстве центров распределений двух нормальных генеральных совокупностей при известном .
- •10.3Проверка гипотезы о равенстве центров распределения нормальных генеральных совокупностей при неизвестном .
- •10.5Проверка гипотез о законе распределения. Критерий согласия .
- •10.6Вычисление объёма выборки.
- •Глава 11Основы дисперсионного анализа.
- •11.1Основная идея дисперсионного анализа.
- •11.2Однофакторный комплекс.
- •11.3Двухфакторный комплекс.
- •11.4Дисперсионный анализ с равным числом наблюдения в ячейке.
- •11.5Дисперсионный анализ с неравным числом наблюдений в ячейке.
- •Глава 12Основы корреляционного анализа.
- •12.1О связях функциональных, стохастических, статистических и корреляционных.
- •12.2Определение формы связи. Понятие регрессии.
- •12.3 Поле корреляции.
- •12.4Линейная регрессия. Понятие о способе наименьших квадратов.
- •12.5Кривые регрессии. Нелинейная регрессия.
- •12.6Измерение тесноты связи. Эмпирическое корреляционное отношение.
7.6Числовые характеристики системы двух с.В. Ковариация и коэффициент корреляции.
Опр. Начальным моментом порядка k,s системы двух с.в.(Х,У) называется математическое ожидание произведения XkYs
k,s=M[XkYs]
Опр. Центральным моментом порядка
k,s
системы двух с.в. (Х,У) называется
математическое ожидание произведения
на
где
=X-Mx;
=Y-My
- центрированные с.в.
Для дискретных с.в. (Х,У):
Для системы непрерывных с.в. (Х,У):
Примечание:
Опр. Ковариацией (корреляционным
моментом) с.в. Х,У называется мат. ожидание
произведения центрированных с.в.
и
.
Замечание:
Для независимых с.в. доказано, что f(x,y)=f1(x)f2(y)
\\ \\
0
Замечание: Ковариация двух с.в равна математическому ожиданию их произведения минус произведение математических ожиданий.
М[X,Y]
//
// \\ \\
MxMy MxMy 1
Опр. Коэффициентом корреляции называется ковариация обезразмеренная делением на средние квадратичные отклонения с.в. Х и У:
Замечание: величина rxy характеризует степень зависимости этих величин, причем только в линейной зависимости, проявляющейся в том, что при возрастании одной с.в. другая проявляет тенденцию также возрастать, если rxy >0, и убывать, если rxy < 0.
Модуль коэффициента корреляции случайных величин Х и У характеризует степень тесноты линейной зависимости между ними.
Если линейной зависимости нет, rxy =0. Если между с.в. существует жесткая функциональная линейная зависимость: У=аХ + b,
то rxy=+ 1 при а>0 и rxy =-1 при а< 0
Опр. Если ковариация Kxy двух с.в. равна нулю, с.в. Х и У называются некоррелированными; если же не равна нулю - коррелированными.
7.7Условные числовые характеристики системы случайных величин (х,у). Регрессия.
Опр. Условным математическим ожиданием одной из с.в, входящих в систему (Х,У), называется её мат. ожидание, вычисленное при условии, что другая с.в. приняла определенное значение, т.е. найденное на основе условного закона распределения.
Для двух дискретных с.в.:
где pyj | xi=P{Y=yj| X=xi}
pxi | yj=P{X=xi| Y=yj}
Для двух непрерывных с.в.:
Опр. Условное мат. ожидание с.в. У при заданном Х=х: M[Y|x]=My|x называется регрессией У на х. Графики этих зависимостей от х и у называются линиями регрессии.
Пример:
Матрица распределения системы двух с.в. (Х,У) задана таблица:
-
(Х,У):
xi | yj
0
2
5
1
0.1
0
0.2
2
0
0.3
0
4
0.1
0.3
0
1) Найти числовые характеристики системы (Х,У):
Mx, My, Dx, Dy, x, y, Kxy, rxy
2) Построить линии регрессии У на Х и Х на У соответственно.
Решение: 1) Ряды отдельных величин:
Px1=P{X=1}=0.1+0.2=0.3
Px2=P{X=2}=0.3
Px3=P{X=4}=0.1+0.3=0.4
X:
-
1
2
4
0,3
0,3
0,4
Мх=1*0,3+2*0,3+4*0,4=2,5
2[X]=12*0,3+22*0,3+42*0,4=7,9
Dx=2[X]- Мх=1.65
x=
=1.285
Py1=P{Y=0}=0.1+0.1=0.2
Py2=P{Y=2}=0.3+0.3=0.6
Py3=P{Y=5}=0.2
-
Y:
0
2
5
0.2
0.6
0.2
My=2*0.6+5*0.2=2.2
2[X]=22*0.6+52*0.2=7.4
Dy=2[Y]- Мy=7.4-(2.2)2=2.56
x= =1.6
M[XY]=2*2*0.3+2*4*0.3+1*5*0.2=4.6
Kxy=4.6-2.5*2.2=-0.9
Между Х и У существует отрицательная линейная зависимость, т.е. при увеличении одной из них другая имеет некоторую тенденцию уменьшаться.
2)
Py1|x1=P{Y=0|X=1}=0.1/0.3=1/3
Py2|x1=P{Y=2|X=1}=0/0.3=0
Py3|x1=P{Y=5|X=1}=0.2/0.3=2/3
My|x1=5*2/3=10/3
Py1|x2=0 Py2|x2=1 Py3|x2=0 My|x2=2
Py1|x3=1/4 Py2|x3=3/4 Py3|x3=0 My|x3=3/2
Также
Pх1|у1=1/2 Pх2|у1=0 Pх3|у1=1/2 Мх|у1=2,5
Pх1|у2=0 Pх2|у2=1/2 Pх3|у2=1/2 Мх|у2=3
Pх1|у3=10 Pх2|у3=0 Pх3|у3=0 Мх|у3=2