Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Тер.Вер.-ЛЕКЦИИ7.doc
Скачиваний:
13
Добавлен:
08.05.2019
Размер:
4.38 Mб
Скачать

7.6Числовые характеристики системы двух с.В. Ковариация и коэффициент корреляции.

Опр. Начальным моментом порядка k,s системы двух с.в.(Х,У) называется математическое ожидание произведения XkYs

k,s=M[XkYs]

Опр. Центральным моментом порядка k,s системы двух с.в. (Х,У) называется математическое ожидание произведения на

где =X-Mx; =Y-My - центрированные с.в.

Для дискретных с.в. (Х,У):

Для системы непрерывных с.в. (Х,У):

Примечание:

Опр. Ковариацией (корреляционным моментом) с.в. Х,У называется мат. ожидание произведения центрированных с.в. и .

Замечание:

Для независимых с.в. доказано, что f(x,y)=f1(x)f2(y)

\\ \\

  1. 0

Замечание: Ковариация двух с.в равна математическому ожиданию их произведения минус произведение математических ожиданий.

М[X,Y]

//

// \\ \\

MxMy MxMy 1

Опр. Коэффициентом корреляции называется ковариация обезразмеренная делением на средние квадратичные отклонения с.в. Х и У:

Замечание: величина rxy характеризует степень зависимости этих величин, причем только в линейной зависимости, проявляющейся в том, что при возрастании одной с.в. другая проявляет тенденцию также возрастать, если rxy >0, и убывать, если rxy < 0.

Модуль коэффициента корреляции случайных величин Х и У характеризует степень тесноты линейной зависимости между ними.

Если линейной зависимости нет, rxy =0. Если между с.в. существует жесткая функциональная линейная зависимость: У=аХ + b,

то rxy=+ 1 при а>0 и rxy =-1 при а< 0

Опр. Если ковариация Kxy двух с.в. равна нулю, с.в. Х и У называются некоррелированными; если же не равна нулю - коррелированными.

7.7Условные числовые характеристики системы случайных величин (х,у). Регрессия.

Опр. Условным математическим ожиданием одной из с.в, входящих в систему (Х,У), называется её мат. ожидание, вычисленное при условии, что другая с.в. приняла определенное значение, т.е. найденное на основе условного закона распределения.

Для двух дискретных с.в.:

где pyj | xi=P{Y=yj| X=xi}

pxi | yj=P{X=xi| Y=yj}

Для двух непрерывных с.в.:

Опр. Условное мат. ожидание с.в. У при заданном Х=х: M[Y|x]=My|x называется регрессией У на х. Графики этих зависимостей от х и у называются линиями регрессии.

Пример:

Матрица распределения системы двух с.в. (Х,У) задана таблица:

(Х,У):

xi | yj

0

2

5

1

0.1

0

0.2

2

0

0.3

0

4

0.1

0.3

0

1) Найти числовые характеристики системы (Х,У):

Mx, My, Dx, Dy, x, y, Kxy, rxy

2) Построить линии регрессии У на Х и Х на У соответственно.

Решение: 1) Ряды отдельных величин:

Px1=P{X=1}=0.1+0.2=0.3

Px2=P{X=2}=0.3

Px3=P{X=4}=0.1+0.3=0.4

X:

1

2

4

0,3

0,3

0,4

Мх=1*0,3+2*0,3+4*0,4=2,5

2[X]=12*0,3+22*0,3+42*0,4=7,9

Dx=2[X]- Мх=1.65

x= =1.285

Py1=P{Y=0}=0.1+0.1=0.2

Py2=P{Y=2}=0.3+0.3=0.6

Py3=P{Y=5}=0.2

Y:

0

2

5

0.2

0.6

0.2

My=2*0.6+5*0.2=2.2

2[X]=22*0.6+52*0.2=7.4

Dy=2[Y]- Мy=7.4-(2.2)2=2.56

x= =1.6

M[XY]=2*2*0.3+2*4*0.3+1*5*0.2=4.6

Kxy=4.6-2.5*2.2=-0.9

Между Х и У существует отрицательная линейная зависимость, т.е. при увеличении одной из них другая имеет некоторую тенденцию уменьшаться.

2)

Py1|x1=P{Y=0|X=1}=0.1/0.3=1/3

Py2|x1=P{Y=2|X=1}=0/0.3=0

Py3|x1=P{Y=5|X=1}=0.2/0.3=2/3

 My|x1=5*2/3=10/3

Py1|x2=0 Py2|x2=1 Py3|x2=0 My|x2=2

Py1|x3=1/4 Py2|x3=3/4 Py3|x3=0 My|x3=3/2

Также

Pх1|у1=1/2 Pх2|у1=0 Pх3|у1=1/2 Мх|у1=2,5

Pх1|у2=0 Pх2|у2=1/2 Pх3|у2=1/2 Мх|у2=3

Pх1|у3=10 Pх2|у3=0 Pх3|у3=0 Мх|у3=2