
- •Содержание
- •Введение
- •Глава 1 Основные понятия.
- •1.1Вводные понятия.
- •1.2Непосредственный подсчёт вероятностей
- •1.3Частота или статическая вероятность.
- •Глава 2Аксиоматика теории вероятности. Правила умножения и сложения и их свойства.
- •2.1Элементарные сведения из теории множеств.
- •2.2Аксиомы теории вероятностей и их следствия. Правило сложения вероятностей.
- •2.3Комбинаторика. Классические модели. Примеры.
- •2.4Геометрическая модель.
- •2.5Условная вероятность события. Правило умножения вероятностей.
- •2.6Формула полной вероятности.
- •2.7Теорема гипотез (Формула Бейеса).
- •Глава 3Случайные величины, их законы распределения.
- •3.1Понятие случайной величины. Законы распределения. Ряд распределения дискретной случайной величины.
- •3.2Функция распределения случайной величины. Её свойства.
- •3.3Функция распределения дискретной с. В. Индикатор события.
- •3.4Непрерывная случайная величина. Плотность распределения.
- •Глава 4Числовые характеристики случайных величин.
- •4.1Роль и назначение числовых характеристик. Математическое ожидание случайной величины.
- •4.2 Моменты. Дисперсия. Среднее квадратичное отклонение.
- •Глава 5Некоторые важные для практики распределения дискретных с. В.
- •5.1Аппарат производящей функции.
- •5.2Испытания Бернулли.
- •5.3Биноминальное распределение.
- •5.4Распределение Пуассона.
- •5.5Геометрическое распределение.
- •5.6Гипергеометрическое распределение.
- •Глава 6Некоторые важные для практики распределения непрерывных случайных величин.
- •6.1Равномерное распределение.
- •6.2Показательное распределение.
- •6.3Нормальное распределение.
- •6.4Гамма - распределение и распределение Эрлана.
- •Глава 7Системы случайных величин (случайные векторы).
- •7.1Понятие о системе случайных величин.
- •7.2Функция распределения системы двух случ. Величин.
- •7.3Система двух дискретных случ. Величин. Матрица распределения.
- •7.4Система двух непрерывных случ. Величин. Совместная плотность распределения.
- •7.5Зависимые и независимые случ. Величины. Условные законы распределения.
- •7.6Числовые характеристики системы двух с.В. Ковариация и коэффициент корреляции.
- •7.7Условные числовые характеристики системы случайных величин (х,у). Регрессия.
- •7.8Закон распределения и числовые характеристики n-мерного случайного вектора.
- •Лекции « Теория вероятности и математическая статистика »
- •Раздел 2
- •«Математическая статистика.» Глава 8Основы математической теории выборочного метода.
- •8.1Понятие о выборочном методе. Способы образования выборочной совокупности.
- •8.2Характеристики генеральной и выборочной совокупности.
- •8.3Эмпирическая функция распределения.
- •Глава 9Статистическое оценивание параметров распределения.
- •9.1Понятие об оценке параметров.
- •9.2Основные свойства оценок.
- •1) Несмещенность
- •2) Эффективность
- •3) Состоятельность
- •9.3Оценка математического ожидания и дисперсии по выборке.
- •9.4Метод наибольшего правдоподобия.
- •9.5Распределение средней арифметической для выборок из нормальной совокупности. Распределение Стьюдента.
- •9.6Распределение дисперсии в выборках из нормальной генеральной совокупности. Распределение Пирсона.
- •9.7Понятие доверительного интервала. Доверительная вероятность.
- •9.8 Построение доверительного интервала для математического ожидания при известной .
- •9.9Построение доверительного интервала для математического ожидания при неизвестной .
- •9.10Построение доверительного интервала для дисперсии.
- •Глава 10Проверка статистических гипотез.
- •10.1Понятие статистической гипотезы. Общая постановка задачи проверки гипотез.
- •10.2Проверка гипотезы о равенстве центров распределений двух нормальных генеральных совокупностей при известном .
- •10.3Проверка гипотезы о равенстве центров распределения нормальных генеральных совокупностей при неизвестном .
- •10.5Проверка гипотез о законе распределения. Критерий согласия .
- •10.6Вычисление объёма выборки.
- •Глава 11Основы дисперсионного анализа.
- •11.1Основная идея дисперсионного анализа.
- •11.2Однофакторный комплекс.
- •11.3Двухфакторный комплекс.
- •11.4Дисперсионный анализ с равным числом наблюдения в ячейке.
- •11.5Дисперсионный анализ с неравным числом наблюдений в ячейке.
- •Глава 12Основы корреляционного анализа.
- •12.1О связях функциональных, стохастических, статистических и корреляционных.
- •12.2Определение формы связи. Понятие регрессии.
- •12.3 Поле корреляции.
- •12.4Линейная регрессия. Понятие о способе наименьших квадратов.
- •12.5Кривые регрессии. Нелинейная регрессия.
- •12.6Измерение тесноты связи. Эмпирическое корреляционное отношение.
6.2Показательное распределение.
О
пр.
Непрерывная с. в. Х имеет показательное
распределение (или экспоненциальное)
распределение, если:
-
х > 0
x 0
т.е. мат. ожидание с. в., имеющей показательное распределение, обратно его параметру .
т. е. среднее квадратичное отклонение с. в. Х, имеющей показательное распределение, равно её мат. ожиданию.
Для нахождения асимметрии:
Показательное распределение тесно связано с простейшим потоком событий.
Теорема:
И
нтервал
времени Т между двумя соседними событиями
в простейшем потоке имеет показательное
распределение с параметром, равным
интенсивности потока:
(t > 0)
Док–во:
F (t) = P { T < t }
Для того, чтобы выполнялось неравенство T < t, нужно, чтобы хотя бы одно событие потока попало на участок длины t;
Вероятность этого:
Замечание:
При изменении m кривая f(x), не изменяя своей формы, просто будет смещаться вдоль оси абсцисс.
Изменение равносильно изменению масштаба кривой по обеим осям.
6.3Нормальное распределение.
Опр. С. в. Х имеет нормальное распределение с параметрами m, , если её плотность распределения имеет вид:
Мода xm
= m
т. к. график f(m) симметричен, то
Mx = xm = m
Замена переменной t=(x-m)/
Интегрируя по частям:
среднее квадратичное отклонение х =
Центральный момент S- го порядка:
Делаем замену переменной:
При нечётном S S = 0 (интервал в симметричных пределах от нечётной функции равен нулю).
При чётных S: (интегрирование по частям)
т. к.
т. к. 0 = 1 2 = 2 4 = 34 6 = 156 …
Эксцесс:
Вероятность попадания на участок от до :
Замена переменных:
Как известно, неопределённый интеграл
не выражается через элементарные
функции, но его можно выразить через
специальную функцию:
- функция Лапласа (или
«интеграл вероятностей»)
Для неё составлены таблицы.
Свойства функции Лапласа:
Ф (0) = 0
Ф (- х) = - Ф (х) - нечётная функция
Ф (+ ) = 0,5 Ф (- ) = - 0,5
Док – во:
Делаем замену -t = z
3-е свойство вытекает из интеграла Эйлера - Пуассона:
Ф (+ ) = 1/2
Функция распределения:
Замечание:
Нормальное распределение возникает в тех случаях, когда складывается много независимых с. в. Х1, Х2,…, Хn. Тогда, каковы бы ни были с. в. Х1, Х2,…, Хn, закон распределения их суммы будет близок к нормальному.
6.4Гамма - распределение и распределение Эрлана.
Опр. Неотрицательная с. в. Х имеет гамма - распределение, если её плотность распределения выражается формулой:
(х > 0)
где > 0, k > 0, Г (k) – гамма – функция
Свойства гамма – функции:
Г (k+1) = k Г (k)
Г(1) = 1 Г (k+1) = k!
, где (2k –1) !! = 1*3*5*…*(2k – 1)
Числовые характеристики:
Замечание:
При k = 1 гамма - распределение
превращается в показательное:
x > 0
Опр. При целом k > 1 гамма – распределение превращается в распределение Эрлана k – го порядка.
Замечание: Закону Эрлана k – го порядка подчинена сумма независимых с. в. Х1 + Х2 + … + Хk, каждая из которых распределена по показательному закону с параметром .