Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Тер.Вер.-ЛЕКЦИИ7.doc
Скачиваний:
13
Добавлен:
08.05.2019
Размер:
4.38 Mб
Скачать

6.2Показательное распределение.

О пр. Непрерывная с. в. Х имеет показательное распределение (или экспоненциальное) распределение, если:

х > 0

x  0

т.е. мат. ожидание с. в., имеющей показательное распределение, обратно его параметру .

т. е. среднее квадратичное отклонение с. в. Х, имеющей показательное распределение, равно её мат. ожиданию.

Для нахождения асимметрии:

Показательное распределение тесно связано с простейшим потоком событий.

Теорема:

И нтервал времени Т между двумя соседними событиями в простейшем потоке имеет показательное распределение с параметром, равным интенсивности потока: (t > 0)

Док–во:

F (t) = P { T < t }

Для того, чтобы выполнялось неравенство T < t, нужно, чтобы хотя бы одно событие потока попало на участок длины t;

Вероятность этого:

Замечание:

При изменении m кривая f(x), не изменяя своей формы, просто будет смещаться вдоль оси абсцисс.

Изменение  равносильно изменению масштаба кривой по обеим осям.

6.3Нормальное распределение.

Опр. С. в. Х имеет нормальное распределение с параметрами m, , если её плотность распределения имеет вид:

Мода xm = m

т. к. график f(m) симметричен, то

Mx = xm = m

Замена переменной t=(x-m)/

Интегрируя по частям:

 среднее квадратичное отклонение х = 

Центральный момент S- го порядка:

Делаем замену переменной:

При нечётном S S = 0 (интервал в симметричных пределах от нечётной функции равен нулю).

При чётных S: (интегрирование по частям)

т. к.

т. к. 0 = 1  2 = 2  4 = 34  6 = 156

Эксцесс:

Вероятность попадания на участок от  до :

Замена переменных:

Как известно, неопределённый интеграл не выражается через элементарные функции, но его можно выразить через специальную функцию:

- функция Лапласа (или «интеграл вероятностей»)

Для неё составлены таблицы.

Свойства функции Лапласа:

  1. Ф (0) = 0

  2. Ф (- х) = - Ф (х) - нечётная функция

  3. Ф (+ ) = 0,5  Ф (- ) = - 0,5

Док – во:

Делаем замену -t = z

3-е свойство вытекает из интеграла Эйлера - Пуассона:



 Ф (+ ) = 1/2

Функция распределения:

Замечание:

Нормальное распределение возникает в тех случаях, когда складывается много независимых с. в. Х1, Х2,…, Хn. Тогда, каковы бы ни были с. в. Х1, Х2,…, Хn, закон распределения их суммы будет близок к нормальному.

6.4Гамма - распределение и распределение Эрлана.

Опр. Неотрицательная с. в. Х имеет гамма - распределение, если её плотность распределения выражается формулой:

(х > 0)

где  > 0, k > 0, Г (k) – гамма – функция

Свойства гамма – функции:

  1. Г (k+1) = k Г (k)

  2. Г(1) = 1  Г (k+1) = k!

  3. , где (2k –1) !! = 1*3*5*…*(2k – 1)

Числовые характеристики:

Замечание:

При k = 1 гамма - распределение превращается в показательное: x > 0

Опр. При целом k > 1 гамма – распределение превращается в распределение Эрлана k – го порядка.

Замечание: Закону Эрлана k – го порядка подчинена сумма независимых с. в. Х1 + Х2 + … + Хk, каждая из которых распределена по показательному закону с параметром .