5.5Геометрическое распределение.

Опр. С. в. Х имеет геометрическое распределение, если её возможные значения 0, 1, 2, …, m, …, а вероятности этих значений: P_m=q^mp, где 0 < p < 1; q = 1-p; m = 0, 1, 2, …

Замечание:

Вероятности P_m образуют геометрическую прогрессию с первым членом p и знаменателем q.

Задача:

Проведение опыта с двумя исходами до первого нужного.

p – вероятность « успеха », q – « неудача »

Р₀ = р - первая попытка успешна

Р₁ = qp - первая – неудача, второй – успех

Х:	0	1	2	…	m	Число « неуспехов »
	p	qp	q2p	…	qmp

Производящая функция:

• 

• 

• 

т. к. p = 1 – q 

• 

• 

Y =X + 1 – общее число попыток

Пример:

В нашем распоряжении имеется n лампочек, каждая из них с вероятностью p имеет дефект. Лампочка ввинчивается в патрон и в сеть, включается ток, дефектная лампочка перегорает и заменяется другой.

С. в. z – число испробованных лампочек

Нужно построить ряд с. в. z и найти мат. ожидание

Решение:

Пусть q = 1 – p - вероятность работающей лампы

z:	1	2	…	m	…	m-1	n
	q	pq	…	pm-1q	…	pn-2q	pn-1

• 

5.6Гипергеометрическое распределение.

Опр. С. в. Х имеет гипергеометрическое распределение с параметрами a, b и n, если её возможные значения 0, 1, …, m,…,а имеют вероятности: (m = 0, …, а)

Пример задачи гипергеометрического распределения:

Имеется урна, в которой a черных шаров и b – белых; из неё вынимается n шаров.

С. в. Х – число белых шаров среди вынутых.

Пример:

В шкафу находятся 9 приборов; из них 5 новых и 4 б/у. Из шкафа наугад вынимаются 4 прибора.

С. в. Х – число новых приборов

Построить ряд распределения Х двумя способами.

Решение:

a=5, b=4, a+b = 9

С⁴₉= 9*8*7*6 / 1*2*3*4 =126

• P₀ = C⁰₅*C⁴₄ / 126 = 1/126 = 0,008

P₁ = C¹₅*C³₄ / 126 = 5*6/126 = 0,159

P₂ = C²₅*C²₄ / 126 = 10*6/126 = 0,476

P₃ = C³₅*C¹₄ / 126 = 0,317

P₄ = C⁴₅*C⁰₄ / 126 = 0,040

Х =	0	1	2	3	4
	0,008	0,159	0,476	0,317	0,040

m_х = 0*0,008+1*0,159+2*0,476+3*0,317+4*0,040=2,222

Также (из гипергеометрической формулы):

m_х = 4*5 / 9 = 2,222

Для вычисления дисперсии грубо переносим т. 0 в т. 2

Y:	-2	-1	0	1	2
	0,008	0,159	0,476	0,317	0,040

₂=(-2)²*0,008+(-1)²*0,159+0,317+4*0,040=0,668

D(Y)=D(X)=0,617

Глава 6Некоторые важные для практики распределения непрерывных случайных величин.

6.1Равномерное распределение.

Опр. С. в. Х имеет равномерное распределение на участке от а до b, если её плотность f(x) на этом участке постоянна:

	при х(a,b)
	при х (a,b)

• 

Равномерное распределение не имеет моды.

Медиана для симметричного случая совпадает с мат. ожиданием.

Так же подтверждает симметричность и ₃=0

Для определения эксцесса найдём ₄:

• 

Ф ункция распределения:

	x < a
	a < x < b
	b < x

Пример по времени.