Свойства среднего
Для
и
независимых случайных величин x
и y
выполняются
1.
,
2.
,
3.
.
Доказательство 2. Используя (1.5), получаем
;
Доказательство 3.
,
где для независимых случайных величин учтена теорема умножения независимых событий
.
Отклонение от среднего
.
Среднее отклонение от среднего
.
Среднее квадратичное величины
.
(1.7)
Среднее квадратичное отклонение от среднего – дисперсия
.
(1.8)
Флуктуация
.
(1.9)
Относительная флуктуация
.
(1.10)
Если
x
случайным образом изменяется с течением
времени, то относительная флуктуация
показывает долю времени, в течение
которой система находится в состоянии
с
.
Теорема. Относительная флуктуация аддитивной величины, характеризующей систему, уменьшается обратно пропорционально корню квадратному из числа независимых подсистем и мала для макроскопической системы. Примером аддитивной величины (от лат. additivus – прибавляемый) является энергия. Флуктуация энергии для макросистемы ничтожно мала, для микросистемы она существенна.
Доказательство:
Аддитивная величина X для системы равна сумме значений xk для N независимых подсистем
,
.
Тогда
,
,
.
Использовано
,
и усреднение произведений характеристик статистически независимых подсистем
,
.
Относительная флуктуация
.
(П.1.2)
Характеристики случайНой непрерывНой величиНы
Плотность вероятности непрерывной случайной величины x равна вероятности ее обнаружения в единичном интервале около значения x
.
(1.11)
Сравните
– скорость
– перемещение
за единицу времени.
Вероятность
нахождения в интервале
.
Пример:
Пусть
– скорость частицы идеального газа.
Вероятность обнаружения частицы со
скоростью в интервале
,
– концентрация
частиц со скоростями в интервале
,
n – концентрация частиц со всевозможными скоростями.
Условие нормировки
.
(1.12)
Средние значения
,
.
(1.13)
Биномиальное распределение
Описывает N независимых частиц или N независимых случаев.
Если p – вероятность признака у одной частицы, или вероятность одного случая, то вероятность того, что n любых частиц обладают этим признаком, или вероятность возникновения n случаев, равна
,
(1.14)
;
;
– биномиальный
коэффициент.
Распределение обосновал Якоб Бернулли в 1713 г.
Якоб Бернулли (1654–1705)
Доказательство:
Объект – идеальный газ из N тождественных частиц в объеме V.
Получим
вероятность обнаружения n
любых частиц в объеме
.
1. Вероятность найти определенную частицу в объеме V согласно определению вероятности (1.4а)
.
Вероятность найти определенную частицу вне объема V
.
Эти несовместимые события образуют полный набор и удовлетворяют условию нормировки.
2. Вероятность найти n определенных частиц в объеме V согласно теореме об умножении вероятностей независимых событий (1.4б)
.
Вероятность найти (N – n) определенных частиц вне объема V
.
3. Вероятность найти одновременно n определенных частиц в объеме V и (N – n) других частиц вне этого объема
.
4.
Взаимная перестановка тождественных
частиц дает состояние, не отличимое от
исходного. Число таких состояний равно
числу
сочетаний
n
частиц из общего числа N,
т. е. равно
.
5. В результате вероятность найти n любых частиц в объеме V и (N – n) любых других частиц вне V
.