2. Статистическая линеаризация нелинейной части системы

Статистической линеаризацией называется построение линейной модели нелинейного звена системы управления с учетом характеристик преобразования случайного сигнала линейной частью системы (рисунок 2).

М

етоды статистической линеаризации основаны на допущении о наличии у линейной части системы свойства фильтра. Благодаря этому, сигнал на входе нелинейного звена, то есть на выходе линейной части (рисунок 2), рассматривается в форме , причем для описания центрированной составляющей ограничиваются дисперсией D_x или среднеквадратическим отклонением σ_x. При нескольких входных сигналах для каждого используется аналогичное представление, а для описания совокупности центрированных составляющих - матрица моментов.

Для однозначной нелинейности общего вида статистически линеаризованная модель имеет вид: .

Для однозначной нечетной относительно входного сигнала нелинейности (-x)=-(x) коэффициент ₀ выражают через математическое ожидание входного сигнала: ₀ = k₀m_x.

Коэффициент ₀ называется средней статистической характеристикой нелинейности; коэффициент k₀ - статистическим коэффициентом усиления по математическому ожиданию; коэффициенты k₁ - статистическим коэффициентам усиления по случайным составляющим входных сигналов.

Значения коэффициентов статистической линеаризации определяют на основе критериев вероятностной эквивалентности. Обычно используют два критерия.

Первый критерий состоит в равенстве математических ожиданий и дисперсий сигналов на выходе статистически линеаризованного и исходного нелинейного звеньев. Для однозначной исходной нелинейности имеем:

,

,

где f(x) - ПРВ сигнала X на входе нелинейного звена.

Математическое ожидание выходного сигнала линеаризованного звена M[Y] равно ₀ (или k₀m_x для нечетной нелинейности), а его дисперсия D[Y] связана с дисперсией и среднеквадратическим отклонением входного сигнала в соответствии с (4.15):

В результате получим:

или , (4)

. (5)

Знак в формуле соответствует знаку производной в точке, соответствующей m_x.

Второй критерий состоит в минимизации среднего квадрата ошибки аппроксимации выходного сигнала нелинейного звена выходным сигналом линеаризованного звена:

.

Раскроем скобки в выражении для ² и применим к нему первое необходимое условие экстремума по ₀ и k₁:

,

,

.

Решение полученных уравнений дает выражения для определения ₀ и k₁, доставляющих минимум ²:

,

. (6)

Обычно рекомендуют вычислять k₁ как среднее арифметическое:

,

где - значение, получаемое на основе первого критерия по (4.20); - значение, получаемое на основе второго критерия по (4.21).

Все полученные расчетные соотношения для определения коэффициентов статистической линеаризации предусматривают использование ПРВ сигналов на входе линеаризуемого звена. В силу допущения о наличии у линейной части системы свойства фильтра, обычно используется ПРВ нормального закона распределения.

В курсовой работе задано нелинейное звено с однозначной статической характеристикой типа двухпозиционного реле (рисунок 3).

Его линеаризация выполняется в форме . Для определения k₀ применим формулу (4):

,

где - стандартизованная нормальная величина. И далее:

,

где Ф(u) - интеграл вероятностей, рассмотренный в разд. 3.

Аналогично на основе (5), (6) можно получить:

,

.