Общие сведения о динамических характеристиках

Состояние и поведение управления в неустановившихся переходных режимах определяются их динамическими свойствами. Динамические свойства ОУ могут быть определены линейными дифференциальными уравнениями, выражающими функциональную связь между входными и выходными величинами во времени.

Рис.2. Статическая характеристика процесса горения топлива в рабочем пространстве нагревательной печи

Исходными данными для составления дифференциальных уравнений являются математические выражения физических законов, определяющих неустановившийся процесс в ОУ или другом элементе системы.

Определение динамических характеристик объектов с помощью дифференциальных уравнений может быть выполнено только для сравнительно простых объектов.

В общем виде зависимость выходной величины от входной в неустановившемся режиме выражается линейным дифференциальным уравнением вида:

(29)

где a₀ .. a_n, b₀ .. b_m – постоянные коэффициенты; n, n-1,.. и m, m‑1,..,1 – порядок производных.

В теории автоматического управления для записи и решения дифференциальных уравнений используется операторный метод, который при нулевых начальных условиях позволяет значительно упростить запись и решение дифференциальных уравнений. Уравнение (29) в операторной форме будет иметь вид:

(30)

где Y_вых(p), X_вх(p) – изображение по Лапласу выходного и входного параметров.

Операторная форма записи уравнения (30) позволяет получить очень важную динамическую характеристику ОУ – передаточную функцию W(p). Выражение, стоящее в скобках перед Y_вых(p), называется собственным оператором. Выражение, стоящее в скобках перед X_вх(p), называется оператором воздействия.

Передаточной функцией объекта называется отношение оператора воздействия к собственному оператору:

(31)

Передаточная функция объекта W(p) является записью дифференциального уравнения (29) в операторной форме и широко используется как основная динамическая характеристика объекта или другого элемента системы.

Наглядное представление о характере переходного процесса в объекте дает кривая разгона, которая представляет собой траекторию изменения выходного параметра во времени при однократном скачкообразном возмущении на входе.

По виду кривых разгона практически все объекты управления можно разделить на три вида:

• объекты с самовыравниванием (рис.3,а);

• объекты без самовыравнивания (рис.3,б);

• объекты с запаздыванием с самовыравниванием и без самовыравнивания (рис.3,в).

Большинство объектов металлургического производства относится к первой группе. Изменение выходной величины после скачкообразного входного возмущающего воздействия происходит с постоянно уменьшающейся скоростью до момента достижения нового установившегося значения (рис.3,а).

Свойство объекта восстанавливать нарушенное равновесие называется самовыравниванием.

Рис.3. Объекты различного вида и траектории кривых разгона, соответствующих каждому типу объектов

В объектах без самовыравнивания изменение выходной величины происходит с постоянной скоростью и беспредельно (до возникновения аварийных ситуаций) – рис.3,б.

В объектах с запаздыванием регулируемая величина начинает изменяться не одновременно с изменением входной величины, как в предыдущих случаях, а через некоторое время З, называемое временем запаздывания. Для рис.3,в: _З = L/V_L, где V_L – скорость движения на транспортном участке L.

Реальные кривые разгона (рис.4), полученные на промышленных объектах, отличаются от рассмотренных выше и имеют S-образный вид:

Рис.4. Реальная кривая разгона

Для количественной оценки динамических свойств объектов используются следующие параметры:

• _З – время запаздывания – отрезок времени от начала возмущения  = 0 до момента начала изменения выходной величины с постоянной максимальной скоростью или до момента пересечения касательной к Y=f() в точке максимальной скорости с осью времени;

• Т_О – время разгона (постоянная времени) – время, в течение которого выходная величина переходит из одного установившегося состояния Y_УСТ1 в другое Y_УСТ2, при условии изменения этой величины с постоянной максимальной скоростью . Время разгона характеризует инерционные свойства объекта.

• К_ОБ – коэффициент передачи объекта – число единиц измерения выходной величины, приходящихся на единицу входной величины.

Иногда, особенно для теплоэнергетических объектов, вместо постоянной времени Т_О используют параметр  – скорость разгона, а вместо коэффициента передачи К_ОБ используют коэффициент самовыравнивания – :

; (32)

, (33)

где Х, Y, Y_ определены графически на рис.4.

Соотношения между  и К_ОБ следующие:

. (34)

Соотношение между  и Т_О можно вывести из подобия треугольников KLN и PLO (см. рис.4):

Подставив получившееся выражение в формулу (32), получим:

(35)

В теории автоматического управления вместо кривой разгона используется переходная функция, представляющая собой траекторию изменения выходной величины во времени, вызванном единичным входным ступенчатым воздействием Х = 1 при условии, что до момента приложения этого воздействия система находится в покое.

В большинстве случаев динамические свойства объектов с самовыравниванием можно представить последовательным соединением двух инерционных звеньев первого порядка с постоянными времени Т₁ и Т₂. Структурная схема такого соединения показана на рис. 5:

Рис.5. Структурная схема представления динамических свойств ОУ с самовыравниванием

Передаточная функция последовательного соединения двух инерционных звеньев первого порядка имеет вид:

(36)