29. Положительно определенные и отрицательно определенные квадратичные формы.

Матрицу называют матрицей квадратичной формы в данном базисе. В случае, если характеристика поля не равна 2, можно считать, что матрица квадратичной формы симметрична, то есть .

Для любой квадратичной формы существует единственная симметричная билинейная форма , такая, что . Билинейную форму называют полярной к , она может быть вычислена по формуле

Матрица квадратичной формы в произвольном базисе совпадает с матрицей полярной ей билинейной формы в том же базисе. Если матрица квадратичной формы имеет полный ранг, то квадратичную форму называют невырожденной, иначе — вырожденной. Квадратичная форма называется положительно (отрицательно) определённой, если для любого выполнено неравенство или . Положительно определённые и отрицательно определённые формы называются знакоопределёнными. Квадратичная форма A(x,x) называется знакопеременной, если она принимает как положительные, так и отрицательные значения. Квадратичная форма называется положительно (отрицательно) полуопределенной, если или для любого .

30. Приведение квадратичных форм к главным осям.

Приведение квадратичных форм к каноническому виду - http://edu.tltsu.ru/er/book_view.php?book_id=1e2&page_id=602

31. Геометрические векторы, операции над ними, свойства.

В методичке на страницах (4-7).

32. Линейная зависимость векторов на прямой, плоскости и в пространстве, система координат. Линейная зависимость векторов. Пусть задана система векторов а 1 , а 2 , а 3 ,…,а л (1) одной размерности. Определение: система векторов (1) называется линейно-независимой, если равенство a 1 а 1 + a 2 а 2 +…+ a л а л =0 (2) выполняется лишь в том случае, когда все числа a 1 , a 2 ,…, a л =0 и Î R Определение: система векторов (1) называется линейно-зависимой, если равенство (2) выполнимо хотя бы при одном a i ¹ 0 (i=1,…,k) Свойства: Если система векторов содержит нулевой вектор, то она линейно зависима. Если система векторов содержит линейно-зависимую подсистему векторов, то она будет линейно-зависимой. Если система векторов линейно-независима, то и любая ее подсистема будет линейно независимой. Если система векторов содержит хотя бы один вектор, являющийся линейной комбинацией других векторов, то эта система векторов будет линейно зависимой.

Система координат в методичке на страницах (7-10)

33. Прямоугольные декартовы системы координат на прямой, плоскости и в пространстве. Преобразование координат. Прямоугольная система координат на прямой. Простая числовая прямая, (x). Прямоугольная система координат на плоскости. Прямоугольная система координат на плоскости образуется двумя взаимно перпендикулярными осями координат OX и OY. Оси координат пересекаются в точке O, которая называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление. В правосторонней системе координат положительное направление осей выбирают так, чтобы при направлении оси OY вверх, ось OX смотрела направо. Четыре угла (I, II, III, IV), образованные осями координат X'X и Y'Y, называются координатными углами или квадрантами (см. рис. 1). Положение точки A на плоскости определяется двумя координатами x и y. Прямоугольная система координат в пространстве. Прямоугольная система координат в пространстве образуется тремя взаимно перпендикулярными осями координат OX, OY и OZ. Оси координат пересекаются в точке O, которая называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление, указанное стрелками, и единица измерения отрезков на осях. Единицы измерения обычно одинаковы для всех осей (что не является обязательным). OX — ось абсцисс, OY — ось ординат, OZ — ось аппликат.

34. Скалярное произведение векторов, его вычисление через координаты. В методичке на страницах (11-13)

35. Применение скалярного произведения для решения различных геометрических задач. В методичке на страницах (12-13)

36. Векторное произведение векторов, его вычисление через координаты. В методичке на страницах (13-15)

37. Применение векторного произведения для решения различных геометрических задач. В методичке на страницах (14-15)

38. Смешанное произведение векторов, его вычисление через координаты. В методичке на страницах (15-17)

39. Применение смешанного произведения для решения геометрических задач. В методичке на страницах (16-17)

40. Различные типы уравнений прямых на плоскости (общее, каноническое, нормальное и т.п.). В методичке на страницах (20-24)

41. Взаиморасположение прямых на плоскости, заданных различными типами уравнений. В методичке на страницах (25-29)

42. Общее и нормальное уравнение плоскости, взаиморасположение плоскостей. В методичке на страницах (30-33)

43. Прямая в пространстве, взаиморасположение прямых в пространстве, прямой и плоскости. В методичке на страницах (34-40)

44. Эллипс, его каноническое уравнение, вывод. Параметрическое уравнение эллипса. Эксцентриситет, директрисы. Эллипс - геометрическое место точек M Евклидовой плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек есть величина постоянная. Фиксированные точки - фокусы. - каноническое уравнение эллипса.

- параметрическое уравнение эллипса, где t – параметр уравнения.

a² – c² = b², где а – большая полуось, b – малая полуось, с – фокальное расстояние.

ε = c / a - Эксцентриситет (характеризует сплющенность эллипса.). x = ± a / ε - Директрисы. ε < 1 (всегда).

45. Гипербола, её каноническое уравнение, вывод. Эксцентриситет, директрисы. Гипербола – геометрическое место точек в плоскости, для которых разность расстояний до двух фиксированных точек взятых по модулю есть величина постоянная и меньшая, чем расстояние между точками.

- каноническое уравнение гиперболы, где большая a и малая b полуоси.

c² – a² = b², где а – большая полуось, b – малая полуось, с – фокальное расстояние. b / a = ε = c / a – Эксцентриситет. x = ± a / ε – Директрисы. ε > 1 (всегда).

46. Парабола, каноническое уравнение, его вывод. Парабола – геометрическое место точек в плоскости, для которых расстояние до фиксированной точки равно расстоянию до фиксированной прямой.

- каноническое уравнение параболы. Вывод формулы: Уравнение директрисы : , фокус — , таким образом начало координат — середина отрезка . По определению параболы для любой точки , лежащей на ней выполняется равенство . и , тогда равенство приобретает вид: . После возведения в квадрат и некоторых преобразований получается равносильное уравнение . ε = 1 (всегда).

47. Инварианты уравнения кривой второго порядка. Исследование общего уравнения (центральный случай). Вид кривой зависит от четырёх инвариантов: инварианты относительно поворота и сдвига системы координат:

• 

• 

• инвариант относительно поворота системы координат (полуинвариант):

•