3.11. Методы решения задач

Для решения задачи о распределении температуры в пределах заданного поля и в расчетный период времени с помощью полученных выше уравнений помимо краевых условий необходимо располагать методом решения этих уравнений.

За 175 лет со времени выхода в свет «Аналитической теории тепла» — классической работы Фурье, теория теплообмена обогатилась рядом таких методов. Первый из них был предложен самим Фурье и известен как «решения в рядах Фурье».

Все эти методы могут быть распределены по следующим группам: аналитические, конечных разностей (графический, численный), исследования температурных полей на моделях (физический), аналоговых и счетных машин.

К настоящему времени наиболее разработаны методы решения уравнения теплопроводности для одномерных задач, как раз тех задач, с которыми преимущественно имеют дело гидрологи и гидротехники.

Аналитические методы решения уравнения теплопроводности состоят в том, что, пользуясь полной математической формулировкой задачи, находят ее аналитическое решение. При этом следует искать уже готовое решение, а не новое. Для этого необходимо обратиться, прежде всего, к монографиям Г.Карслоу и Д.Егер, А. В. Лыкова и др., в которых приведен набор решений различных задач. При отсутствии готового решения целесообразно попытаться найти его в виде суммы (комбинации) имеющихся решений, пользуясь известным принципом суперпозиции. Достоинством этих методов является точность решений; она зависит лишь от точности закладываемых исходных данных и точности производимых вычислений. При решении задачи возможно использование ЭВМ. Температура рассчитывается для любой точки тела и для любого момента времени независимо от расчетов за предшествующие интервалы времени. Недостатком является ограниченность круга задач, для которых могут быть получены решения.

Метод конечных разностей состоит в том, что в дифференциальном уравнении теплопроводности, которое следует решить, все бесконечно малые разности (дифференциалы) заменяются конечными, но малыми разностными величинами. Следовательно, истинное непрерывное в пространстве распределение температуры и непрерывный во времени ход температуры заменяется приближенными прерывистыми значениями, осредняющими температуру конечных малых участков тела ∆x, ∆y, ∆z и малых промежутков времени ∆τ. Достоинством метода является возможность решить весьма сложные задачи, в том числе для тел сложной формы. Метод позволяет использование ЭВМ. К недостаткам метода относятся: отсутствие общего решения задачи; необходимость производства вычислений для всего тела и для всего периода, предшествующего моменту времени, для которого производится вычисление температуры; трудоемкость метода.

Метод исследования температурных полей на моделях (физическое моделирование) является экспериментальным методом решения теплотехнических задач. Он опирается на теорию подобия и применяется в тех случаях, когда аналитические и другие методы не могут дать ответ. Суть метода состоит в том, что исследование процессов и явлений, протекающих в изучаемом объекте, заменяется исследованием их протекания на его модели. Данные, полученные на модели, позволяют судить о тех же процессах и явлениях, протекающих на объекте. Существенным достоинством данного метода является возможность решения сложных задач и исследования недоступных объектов.

Метод аналоговых и счетных машин (метод аналогий) состоит в том, что решение тепловой задачи заменяют уже имеющимся решением задачи другой физической сущности, в которой уравнения и краевые условия совпадают с первой задачей, хотя размерности у них различны (метод ЭТА).