Вычисление вероятностей числа успехов в независимых повторных испытаниях по формуле Пуассона

№

Алгоритмы

Конкретное соответствие задания заданному алгоритму

1

Ввести обозначение для заданных величин

n – число испытуемых (число равновозможных исходов), m – число студентов, родившихся 1 апреля (число благоприятных исходов), р – вероятность того, что студент родился 1 апреля , р = 1/365 n = 300 Найти а) Р₄₀₀(5), б) Р₄₀₀(m<5), в)Р₄₀₀(m  5), г) Р₄₀₀(m1).

2

Сосчитать требуемую вероятность

по формуле Пуассона

(используя Табл.1)

Так как n велико, а р мало и  = np =0.8, нужно воспользоваться формулой Пуассона: 0.4493+0.35946+0.14379+0.03834+0.007670.997

в) Событие m  5 противоположное для события m<5,

поэтому Р₄₀₀(m  5)1- Р₄₀₀(m<5), тогда

Р₄₀₀(m  5)1-0.9970.003;

г) Событие m1 противоположное для события m<1, поэтому

Р₄₀₀(m1)1-Р₄₀₀(m=0)1-0.4490.551.

№

Алгоритмы

Конкретное соответствие задания заданному алгоритму

1

Ввести обозначение для заданных величин

n – число детей m – число мальчиков р – вероятность того, что ученик мальчик (р = 0.515) q = 0.485 n = 200 Найти р₂₀₀(100) и р₂₀₀(m < n-m) = р₂₀₀(m < n/2) = p₂₀₀(m < 100)

2

10. Вычислить требуемую вероятность, используя, используя а)формулу Муавра-Лапласа, когда надо найти конкретное значение вероятности для m;

б)интегральную формулу Лапласа, когда надо найти вероятность попадания в интервал [m₁,m₂].

а) Так как n велико, а р не мало и np > 10, нужно воспользоваться локальной теоремой Муавра-Лапласа, по которой р_n(m) можно вычислить по формуле:

(значения (х) содержится в таблице 3), np=103,

б) Для вычисления значения P₂₀₀(m < 100) используют интегральную теорему Лапласа:

Р_n(m₁mm₂)=Ф(х₂)-Ф(х₁), где

и

Ф(х) - функция Лапласа затабулирована (таблица 3), причем Ф(-х)=-Ф(х).

Воспользовались тем, что Ф(-х) = -Ф(х) и тем, что Ф() = 0.5; значение Ф(0.43) взяли из таблицы 3.

№

Умения

Алгоритмы

9

Составление ряда распределений и вычисление числовых характеристик для подсчета вероятностей числа успехов.

Независимые повторные испытания. Схема Бернулли.

1. Ввести обозначения для заданных величин: чис­ла испытаний, числа успехов, вероятности наступ­ления события A, и выписать их значения. Выписать формулу Бернулли для искомой вероятности (по алгоритму 6).

2.Сосчитать требуемую вероятность, выбрав соответствующую содержанию задачи формулу Бернулли.

3. Найти числовые характеристики ДСВ по формулам МX=np, DX=npq и .

4.Составить ряд распределений случайной величины X – числа возможных образцов.

5.Составить функцию распределения случайной величины X – числа возможных образцов.

6. Построить график функции распределения ДСВ, учитывая значение накопительной вероятности на каждом интервале.

10

Составление ряда распределений и вычисление числовых характеристик для вычисления вероятностей числа успехов в k-ом испытании

(геометрические распределения).

1. Ввести обозначения для заданных величин: чис­ла испытаний, числа успехов, вероятности наступ­ления события A, и выписать их значения. Выписать формулу числа успехов геометрических распределений для искомой вероятности т.е. вероятности того, что событие впервые произойдет в k –ом испытании.

2.Сосчитать требуемую вероятность, выбрав соответствующую содержанию задачи формулу числа успехов успехов в k-ом испытании т.е. геометрических распределений .

3.Найти числовые характеристики ДСВ по формулам МX= , DX= и .

4. Составить ряд распределений случайной величины X – числа возможных образцов.

5.Составить функцию распределения случайной величины X – числа возможных образцов.

6. . Построить график функции распределения ДСВ, учитывая значение накопительной вероятности на каждом интервале.

11

Составление ряда распределений и вычисление числовых характеристик для вычисления вероятностей числа успехов гипергеометрических распределений.

1. Ввести обозначения для заданных величин: чис­ла испытаний, числа успехов, вероятности наступ­ления события A, и выписать их значения. Выписать формулу для искомой вероятности: если необходимо установить вероятность появления отдельных долей подмножеств, то используют гипергеометрические распределения.

2.Сосчитать требуемую вероятность, выбрав соответствующую содержанию задачи формулу числа успехов для гипергеометрических распределений (алгоритм 4-в).

3. Найти числовые характеристики ДСВ по общим формулам , и .

4.Составить ряд распределений случайной величины X – числа возможных образцов.

5.Составить функцию распределения случайной величины X – числа возможных образцов.

6. Построить график функции распределения ДСВ, учитывая значение накопительной вероятности на каждом интервале.

12

Вычисление числовых характеристик ДСВ Z=f(X,Y). Вычисление вероятности попадания в интервал случайной величины Z=f(X,Y).

1. Составить ряд распределений для одинаково распределенных случайных величин X, Y, Z=f(X,Y).

2. Вычислить математическое ожидание по формуле

MZ =

3. Вычислить дисперсию по формуле DZ= -MZ² и среднеквадратичное отклонение Z= .

4. Вычислить вероятности попадания в интервал случайной величины Z=f(X,Y).

13

Вычисление числовых характеристик НСВ,

а также вероятность попадания НСВ Х в интервал P(a< Х < b)

1.Записать функцию плотности вероятности f(x)=F^|(x). 2.Вычислить математическое ожидание MX на указанном отрезке по формуле: .

3.Вычислить дисперсию DХ на указанном отрезке по формуле и среднеквадратичное отклонение по формуле .

4.Найти моду, исследовав на экстремум функцию f(x) с помощью производной f ^|(x).

5.Найти медиану, решив уравнение .

6. Вычислить вероятность попадания в интервал (a;b) по формуле: P(a< Х < b)=Ф(b)-Ф(а).

7.Построить график функции плотности вероятности f(X) и функции распределения F(X).

14

Вычисление числовых характеристик НСВ, равномерно распределенной на отрезке [a,b],

а также вероятность попадания НСВ Х в интервал P(a< Х < b).

1.Записать функция плотности вероятности f(x), определив границы интервала a и b.

2.Вычислить математическое ожидание MX по формуле для равномерных распределений MX=

3.Вычислить дисперсию DX по формуле для равномерных распределений .

4. Записать функцию распределения вероятности F(X), имеющую вид F(X)= .

5.Вычислить вероятности попадания НСВ в интервал

P(a< Х < b) по алгоритму 13 (п.6).

15

Вычисление числовых характеристик НСВ, имеющей показательное распределение на отрезке [a,b]

1. Записать функцию плотности вероятности f(x) показательного распределения для заданного значения  по формуле

f(x) =

2.Записать функцию распределения F(x) для заданного значения  по формуле

F(x) = .

3.Вычислить математическое ожидание по формуле MX=

4.Вычислить дисперсию и среднеквадратичное отклонение по формулам DX= и = .

5. Вычислить вероятность попадания в интервал по формуле P(a<X<b)= .

16

Определение числовых характеристик и вероятности попадания нормально распределенной НСВ Х в интервал P(a< Х < b).

1.Записать математическое ожидание m и среднеквадратичное отклонение σ для нормально распределенной НСВ по закону N (m,σ).

2.Записать функцию плотности вероятности f(x) для нормально распределенной НСВ Х

3. Записать функцию распределения вероятности для нормально распределенной НСВ Х

4. Вычислить P(a<x<b), используя таблицы 3, по формуле

P(a<X<b)=Ф( )-Ф( ).

5. Вычислить P(- < x-m < ) или Р(|x-m|<) по формуле

P(|x-a|<)=2Ф( ), используя таблицы 3 (Приложение 1).

17

Оценить с помощью неравенства Чебышева вероятность того, что НСВ Х отличается от среднего на величину 

1.Записать условие символически: математическое ожидание m_X, среднеквадратичное отклонение , дисперсия DX.

2. Подставить значения m_X, DX и  в неравенство Чебышева

P ( |X - m_X | ≥ ) ≤ , если надо оценить вероятность того, что НСВ отличается от среднего на величину, больше, чем .

3. Подставить значения m_X, DX и  в неравенство Чебышева

P ( |X - m_X | < ) ≥1- , если надо оценить вероятность того, что НСВ отличается от среднего на величину, меньше, чем .