Вычисление числовых характеристик нсв, равномерно распределенной на отрезке [a,b], а также вероятность

Записать функция плотности вероятности f(x), определив границы интервала a и b.

f(x) = , где a=0 и b=20.

Вычислить математическое ожидание MX по формуле для равномерных распределений MX=

MX= 10 или короче по формуле для равномерных MX=

Вычислить дисперсию DX по формуле для равномерных распределений .

DX= -10²= = =33.3 или короче по формуле D(X)=

Записать функцию распределения вероятности F(X), имеющую вид F(X)= .

F(X)= , отсюда F(X)= ,

Вычислить вероятности попадания НСВ в интервал P(a< Х < b) по алгоритму 13 (п.6).

Р(Х<5) = =0.25,

P(X>3) = =0.85.

Записать функцию плотности вероятности f(x) показательного распределения по формуле

f(x) = для заданного значения =0.0002.

.

f(x) =

Записать функцию распределения F(x) показательного распределения по формуле F(x) =

F(x) =

Вычислить математическое ожидание.

M(X)= 5000(ч).

Вычислить дисперсию и среднеквадратичное отклонение.

D(Х)=

Вычислить вероятность попадания в интервал по формуле P(a<X<b)= .

Р(Х>500) = е^{-0.0002∙500} = е^-0.1 = 0.905.

Записать математическое ожидание m, дисперсию D и среднеквадратичное отклонение σ для нормально распределенной СВ.

m=MX=3, σ==2, D(X)=2²= 4.

Записать функцию распределения F(X)= и плотность вероятности НСВ Х f(X)= .

Функция распределения имеет вид F(X)= и плотность вероятности НСВ Х имеет вид f(X)= .

Вычислить P(-1<x<1), используя таблицы 3, по формуле

P(a<x<b)=Ф( )-Ф( ).

P(-1 < Х < 1) =

= = Ф(-1) – Ф(-2) =

= -0.34338-(-0.4772)= 0.1334.

Вычислить P(- 2< x-3 < 2) или

Р(|x-3|<2) по формуле

P(|x-a|<)=2Ф( ), используя таблицы 3 (Приложение 1).

P(- 2 < х-3 < 2) = Р(|x-3|<2)=2Ф( )=2Ф(1)= 0.6826.

Вычислить P(-4<Х-3<6) используя таблицы 3, по формуле

P(a<x<b)=Ф( )-Ф( ).

P(-4<Х-3<6)=Р(-1<x<9)=Ф( )=

= Ф(3) – Ф(-2) = 0.9986 – 0.0228 = 0.9758.

Вычисляется P(-6 <Х-3 < 6) с помощью правила трех «сигм»

P(- 6 < Х-3 < 6) = Р( =

= Ф(3) – Ф(-3) = 0.9986 – 0.0014 = 0.9972.

№ п/п

Алгоритмы

Конкретное соответствие задания заданному алгоритму

1.

Записать условие символически: математическое ожидание m_X, среднеквадратичное отклонение , дисперсия DX.

а) М(Х)=m=50, =2, D(X) = 4,

б) Пусть СВ Y – вес 100 мешков цемента, тогда

, M(Y)=5000, D(Y)=100DX,

Найти а) P(48), б) (<5040)

2.

Вычислить вероятности попадания в интервал с помощью таблиц нормального распределения (функция Лапласа, табл.3 Приложение 1).

а)

б)

Замечание: использовали свойство нечетной функции Лапласа: Ф(-х)=-Ф(х).

Записать условие символически: математическое ожидание m, дисперсия DX, оценка отклонения .

m=80; DX=50, a)₁=10, б) ₂=5

Подставить значения m_X, DX и  в неравенство Чебышева

P ( |X – m | ≥ ) ≤ , т.к. надо оценить вероятность того, что НСВ отличается от среднего на величину, больше, чем .

а)Из неравенства Чебышева следует

P ( |X - 80 | ≥ 10 ) ≤ = 0.5.

Подставить значения mX, DX и  в неравенство Чебышева

P ( |X – m | < ) ≥1- , т.к. надо оценить вероятность того, что НСВ отличается от среднего на величину, меньше, чем .

б)Из неравенства Чебышева следует

P ( |X - 80 | <15) ≥1- = 1-0.22=0.78.

№

Умение

Алгоритмы

1/18

Построение вариационного ряда, эмпирической функции распределения и ее графика - кумуляты.

1. Для построения точечного вариационного ряда расположить заданные значения варианты x_i в порядке возрастания, одинаковые значения объединить и найти их соответствующие частоты.

Точечный вариационный ряд абсолютных частот примет вид:

xi	x1	...	xk
ni	n1	...	nk

2.Найти их соответствующие относительные частоты (статистические вероятности) , где 1 i  k, причем , .

Вариационный ряд относительных частот примет вид:

xi	x1	...	xn
		...

3. Составить эмпирическую функцию распределения, для чего найти накопительные частоты (плотность вероятности) на каждом интервале, просуммировав их по формуле:

.

4. Для построения кумуляты начертить декартову систему координат и отложить на оси абсцисс все возможные значения варианты x₁, x₂, … , x_k, а на оси ординат – соответствующие значения функции F*(x)= .

5. Построить график эмпирической функции распределения, состоящий из отрезков с ординатами pi, построенными на соответствующих интервалах 1 i  k (для дискретных вариант) или соединить отрезками полученные точки (для непрерывных вариант).

2/19

Построение полигона и гистограммы

1. Для построения вариационного ряда расположить заданные значения варианты x_i в порядке возрастания, одинаковые значения объединить и найти их соответствующие частоты

2. Одинаковые значения объединить и найти их соответствующие частоты (статистические вероятности) p_i= , где 1 i  k.

Вариационный ряд относительных частот примет вид:

xi	x1	...	xn
pi	p1	...	pn

3. Отложить на оси ординат абсолютные частоты n₁,n₂,…,n_k или относительные частоты , ,…, .

4. Для построения графика полигона относительных (абсолютных) частот необходимо соединить полученные точки с координатами (x₁, ), (x₂, ), ... , (x_n, ) [(x₁, n₁), (x₂, n₂), ... , (x_n, n_k)] отрезками прямых.

5. Для построения интервального вариационного ряда найти «размах» выборки – ее границы, т.е. , , найти k число интервалов так, чтобы в каждом было не менее пяти значений варианты. При подсчете частоты признака начало интервала включают в интервал, а конец не включают - он является началом следующего интервала. В случае, если признак встретился не более 5 раз (ni5), надо объединить соседние интервалы.

6.Для построения гистограммы на оси ОХ откладываются полученные интервалы. Гистограмма состоит из прямоугольников, построенных на этих интервалах, высотами которых являются соответствующие этим интервалам значения частот (абсолютных или относительных).

Для составления вариационного ряда нужно:

1) найти минимальное и максимальное значения выборки — Х_min и X_max;

2) в первой строке таблицы записать варианты данной генеральной совокупности (выборки) в порядке возрастания;

3) во второй строке записать значение частоты, соответствующей данной варианте.

3/20

Вычисление точечной оценки параметров распределения

по выборке.

1. Построить вариационный ряд по алгоритму 18.

2. Вычислить числовые характеристики:

а ) выборочное среднее (несмещенная оценка) : ;

3. б) выборочную дисперсию (смещенная оценка при n>30);

- для выборки, заданной вариаци­онным рядом;

или для выборки, заданной таблицей;

в) выборочное среднеквадратичное отклонение (смещенная оценка при n>30) .

4/21

Вычисление точечной несмещенной оценки для дисперсии.

1. Вычислить смещенную точечную оценку для дисперсии по формулам алгоритма 20.

2. Вычислить несмещенную точеч­ную оценку для дисперсии по формуле:

.

3. Вычислить несмещенную точеч­ную оценку для среднеквадратичного отклонения .

5/22

Нахождение интервала, в который с заданной вероятностью попадает случайная величина, распределенная нормально или по Стьюденту с помощью статистических таблиц

1. Выписать заданные в условии задачи значения или найти их по алгоритмам №20 и №21, формулу для интервала, а также используемые табличные значения, указав номер таблицы.

2. а) Пусть величина распределена нормально – N(m,) при 1.

Использовать формулу P{ -m<t }= или P( , где t _ - значение, которое находиться по таблице 5.

Так, для =0.95 эта формула обращается в правило двух сигм (t_0.95=2), а для =0.997 – в правило трех сигм (t_0.997=3): .

б) Пусть величина распределена нормально – N(m,) при 0.

Найти для значений  = 0.05; 0.025; 0.005 использовать или таблицу 5, отыскивая  в третьем столбце, или одну из соответствующих данному  формул:

в) Величина задана распределенной по Стьюденту при 1.

Найти t_{n, } из формулы по таблице 6, отыскивая нужное  в верхней строке таблицы, а t_{n, } в строке, соответствующей данному n.

г) Величина задана распределенной по Стьюденту при 0.

Использовать формулу и найти t_n, с помощью таблицы 6, отыскивая нужное  в нижней строке таблицы, а t_n, в строке, соответствующей данному n.

2. Выписать полученный интервал.

6/23

Вычисление

доверительных

интервалов для математического ожидания m

нормального

распределения.

1.Сосчитать выборочное среднее, выборочное среднеквадратическое отклонение (если не известно истинное).

2.Выписать нужную формулу доверительного интервала для математического ожидания m нормального распределения с уровнем доверия  для случая, когда среднеквадратическое отклонение распределения

а)  известно:

, где t_ находится из таблицы 5 нормального распределения по заданному уровню доверия ;

б)  неизвестно:

Использовать вместо  его эмпирическую оценку s с заменой в формуле доверительного интервала n на n-1 степеней свободы и вместо значений нормального распределения использовать значения t_{n-1, } распределения Стьюдента с n-1 степенями свободы, содержащиеся в таблице 6:

, где t_n-1,γ находится с помощью таблицы 6

или через несмещенную оценку s:

.

3. Найти точность оценки по формуле

4. Выписать полученный доверительный интервал, пользуясь таблицами 5, 6 или 7 (Приложение 1), вычислив границы требуемого в задании интервала по формуле .

7/24

Вычисление доверительного интервала для генеральной дисперсии D и среднеквадратичного отклонения 

1. Выписать формулу, заданные в условиях задачи значения.

2. Найти пограничные значения вероятности для .=1-=0.1.

3.Найти по таблицам -распределения пограничные значения для =n-1 числа степеней свободы, зная значения и .

4. Найти значения для  как .

5. Вычислить границы интервала по формуле .

6. Выписать полученный доверительный интервал.

8/25

Вычисление доверительного интервала для вероятности р наступления события А с помощью таблиц нормального распределения.

1.Вычислить оценку для р.

2. Найти доверительный интервал для р по формуле:

, где t_=1.96 для уровня доверия 95% и t_=3 для уровня доверия 99.7%.

3. Для проверки гипотезы, сформулировать вывод из эксперимента, провести вычисления с доверительным интервалом.