Приложение 3 Алгоритмы решения ключевых задач

Оглавление раздела «Алгоритмы»

I. Комплексные умения и алгоритмы к разделу 1 «Основные понятия и теоремы теории вероятностей»

Вычисление числа соединений - вариантов различных подмножеств (выборок) для конечных множеств.
Вычисление вероятностей событий по определению.
Вычисление вероятностей событий по известным вероятностям других событий, с ними связанных.
Вычисление вероятностей событий в зависимости от числа различных подмножеств конечных множеств (различных соединений).
Вычисление вероятности события A по формуле полной вероятности. Вычисление вероятности одной из гипотез по формуле Байеса.
Вычисление вероятностей для числа m успехов в независимых повторных испытаниях n (биномиальные распределения), по формуле Бернулли, если надо найти точное значение m, где n<10.
Вычисление вероятностей для числа m успехов в независимых повторных испытаниях n по формуле Пуассона, если вероятность р наступления события А мала, а n велико и =nр<10.
Вычисление вероятности числа m успехов для n независимых повторных испытаний, если n велико и np>10, когда надо найти

а) конкретное значение вероятности для m (по формуле Муавра-Лапласа);

б) вероятности попадания в интервал [m₁,m₂] (по формуле Лапласа).

II. Комплексные умения и алгоритмы к разделу 2 «Дискретные и непрерывные случайные величины»

9. Составление ряда распределений и вычисление числовых характеристик для подсчета вероятностей числа успехов по схеме Бернулли (биномиальные распределения).

10. Составление ряда распределений и вычисление числовых характеристик для вычисления вероятностей числа успехов в k-ом испытании (геометрические распределения).

11. Составление ряда распределений и вычисление числовых характеристик для вычисления вероятностей числа успехов гипергеометрических распределений.

12. Вычисление числовых характеристик ДСВ Z=f(X,Y). Вычисление вероятности попадания в интервал случайной величины Z=f(X,Y).

13. Вычисление числовых характеристик НСВ, а также вероятность попадания НСВ Х в интервал P(a< Х < b).

14. Вычисление числовых характеристик НСВ, равномерно распределенной на отрезке [a,b], а также вероятность попадания НСВ Х в интервал P(a< Х < b).

15. Вычисление числовых характеристик НСВ, имеющей показательное распределение на отрезке [a,b], построение графика функции распределения.

16. Вычисление вероятности попадания нормально распределенной НСВ Х в интервал P(a< Х < b).

17. Оценить с помощью неравенства Чебышева вероятность того, что НСВ отличается от среднего на величину .

III. Комплексные умения и алгоритмы к разделу 3 «Элементы математической статистики»

1/18. Построение вариационного ряда, эмпирической функции распределения и ее графика - кумуляты.

2/19. Построение полигона и гистограммы

3/20. Вычисление точечной оценок параметров распределения по выборке.

4/21. Вычисление точечной несмещенной оценки для дисперсии.

5/22. Нахождение с помощью статистических таблиц интервала, в который с заданной вероятностью попадает случайная величина, распределенная нормально или по Стьюденту.

6/23. Вычисление доверительных интервалов для математического ожидания m нормального распределения.

7/24. Вычисление доверительного интервала для генеральной дисперсии D и среднеквадратичного отклонения .

8/25. Вычисление доверительного интервала для вероятности р наступления события А с помощью таблиц нормального распределения.

Комплексные умения и алгоритмы

к разделу 1 «Основные понятия и теоремы теории вероятностей»

№	Умения	Алгоритмы
1	Вычисление числа соединений - вариантов различных подмножеств (выборок) для конечных множеств.	1.Установить количество элементов всего множества n и количество элементов его подмножества m. 2. Определить, влияет ли порядок расположения элементов в подмножестве на число вариантов различных подмножеств, состоящих из этих m элементов. 3. Выбрать, в зависимости от конкретного случая, комбинаторную операцию: а) если число комбинаций всего множества зависит от порядка расположения элементов в нем и нет повторяющихся элементов, то перестановки без повторений P_n=n!; б) если число комбинаций всего множества зависит от порядка расположения элементов в нем и есть повторяющиеся элементы, то перестановки с повторениями ; в) если число комбинаций в подмножестве (выборке) зависит от порядка расположения элементов в нем и нет повторяющихся элементов, то размещения без повторений ; г) если число комбинаций в подмножестве (выборке) зависит от порядка расположения элементов в нем и элементы повторяются, то размещения с повторениями ; д) если число комбинаций в подмножестве (выборке) не зависит от порядка расположения элементов в нем и нет повторяющихся элементов, то сочетания без повторений ; е) если число комбинаций в подмножестве (выборке) не зависит от порядка расположения элементов в нем и есть повторяющиеся элементы, то сочетания с повторениями .
2	Вычисление вероятностей событий по определению.	1.Ввести обозначения для заданных величин и вопроса задачи. 2. Выбрать формулу вероятности, соответствующую данному случаю: а)классическое определение: если задано общее число равновозможных исходов n и число исходов m, благоприятных событию А (которые можно сосчитать), то находим вероятность по формуле ; б) геометрическое определение: если все возможные исходы можно изобразить с помощью геометрической фигуры (отрезок, круг, полоса, куб и др.– как полное пространство элементарных событий ), то надо нарисовать эту фигуру, соответствующую полному пространству элементарных исходов ; внутри нее нарисовать фигуру, соответствующую исходам, благоприятствующим событию А, вычислить площади фигур А и , найти вероятность как отношение этих площадей по формуле P(A) .
3	Вычисление вероятностей событий по известным вероятностям других событий, с ними связанных.	1. Обозначить все события, указанные в задаче. Известные вероятности представить в виде дроби. 2.Установить связи между событиями. 3. Вычислить требуемые вероятности, используя теоремы сложения и умножения вероятностей, а также формулу для вычисления противоположного события; если надо вычислить вероятность того, что событие произойдет а) не менее, чем k раз, то надо найти P(m  k)= ; б) если «хотя бы один раз» или «не менее одного раза» - P(0 m  n)= (событие, противоположное тому, что A не произошло ни разу), если «хотя бы 2 раза» - P_n(2  m  n)= ; в)не более чем k раз, то вычисляют ; г)более, чем k раз, то вычисляют ; д) менее, чем k раз, то вычисляют ;
4	Вычисление вероятностей событий в зависимости от числа различных подмножеств конечных множеств (различных соединений).	Обозначить все события, указанные в задаче. Вычислить число равновозможных исходов n и число исходов m, благоприятствующих событию А, пользуясь комбинаторными операциями по алгоритму 1, а также правилами суммы и произведения. 3. Найти формулу вероятности для данного случая, пользуясь классическим определением по формуле .
5	Вычисление вероятности события A по формуле полной вероятности. Вычисление вероятности одной из гипотез по формуле Байеса.	1.Дать описание всех гипотез H₁, H₂, … , H_n, на которые можно разбить пространство элементарных исходов и события A. 2.Вычислить вероятность каждой гипотезы P(H₁), P(H₂),…,P(H_n). Вычислить условную вероятность события A по каждой гипотезе P(A/H₁), P(A/H₂), ... , P(A/H_n). 4. Вычислить вероятность события A по формуле полной вероятности: . 5.Вычислить вероятность гипотезы H_i при условии, что событие А произошло, по формуле Байеса: = .
6	Вычисление вероятностей числа m успехов в n независимых повторных испытаниях (биномиальные распределения), по формуле Бернулли, если надо найти точное значение m, где n<10.	Ввести обозначения для заданных величин: числа испытаний, числа успехов, вероятности наступления события A, и выписать их значения. Выписать формулу для искомой вероятности, придерживаясь общепринятых обозначений: n - число испытаний при n<10, m - число успехов наступлений события A, p - вероятность наступления события A в единичном испытании, q = 1 - p (вероятность неудачи), P_n(m) - вероятность наступления события A m раз в n испытаниях. В колонке "Конкретное соответствие" выписать заданные в задаче значения n, m и p. 2. Сосчитать вероятность: если требуется найти вероятность того, что событие произошло а) ровно m раз, то надо пользоваться формулой Бернулли для биномиальных распределений: б) не менее, чем k раз, то надо найти P(m  k)= ; по алгоритмам 3а) и 5а). в) если «хотя бы один раз» или «не менее одного раза»- P(0 m  n)= (событие, противоположное тому, что A не произошло ни разу), г)хотя бы 2 раза - P_n(2  m n)= и т.д., по алгоритмам 3-б) и 5-а).
7	Вычисление вероятностей числа m успехов в независимых повторных испытаниях n (биномиальные распределения), по формуле Пуассона, если вероятность р наступления события А мала, а n велико и =nр<10;	Ввести обозначения для заданных величин, используя алгоритм 5. Вычислить вероятность по формуле Пуассона , используя для вычислений таблицы 1-а(конкретные значения) и 1-б (значения на интервале), а также алгоритмы 3а) и 3б). Вычисления можно выполнить на калькуляторе.
8	Вычисление вероятностей для числа m успехов в n независимых повторных испытаниях, если n велико и np>10, когда надо найти для m а) конкретное значение вероятности; б)вероятность попадания в интервал [m₁,m₂]..	1.Ввести обозначения для заданных величин, используя алгоритм 5. 2. а) Вычислить вероятность, используя формулу Муавра-Лапласа: , функция (х) затабулирована (таблица 2), затабулирована причем (х)=(-х). б) Вычислить вероятность, используя интегральную формулу Лапласа: Р_n(m₁mm₂)=Ф(х₂)-Ф(х₁), где и Ф(х) - функция Лапласа затабулирована (таблица 3), причем Ф(-х)=-Ф(х).