02 семестр / Разное / Теория по линейной алгебре (определения, доказательства, формулы) / V782RhwLleN / Linal / LINALG9

85

1.17.Знакоопределенные квадратичные формы. Критерий Сильвестра.

Определение 1.30 Квадратичная форма называется положительно (отрицательно) определенной, если для любого ненулевого вектора (соответственно ).

Положительно или отрицательно определенная квадратичная форма называется знакоопределенной. Если в определении 1.30 строгие неравенства заменить нестрогими, то получим определения положительно (отрицательно) полуопределенной квадратичной формы.

Квадратичная форма, не являющаяся ни знакоопределенной, ни полуопределенной (положительно или отрицательно), называется квадратичной формой общего вида.

Свойства квадратичной формы легко распознать, приведя ее к каноническому виду.

Обозначим: - сигнатуру, ранг некоторой квадратичной формы и размерность пространства соответственно.

Утверждение 1.22 Квадратичная форма :

1. положительно определена ;

2. отрицательно определена ;

3. положительно полуопределена ;

4. отрицательно полуопределена .

Доказательство. (1): если форма положительно определена, то, записав ее в нормальном виде

и предполагая, что , получим, что на векторе форма принимает нулевое значение, что невозможно. Итак, . Опять-таки, предполагая отрицательность хотя бы одного коэффициента в записанной выше сумме, легко найдем такой ненулевой вектор, на котором данная форма принимает отрицательное значение. Следовательно, если форма положительно определена, то ее нормальный вид есть .

Обратное очевидно.

Утверждение (2) доказывается точно так же.

Утверждения (3) и (4) должен доказать читатель самостоятельно.

Но чтобы судить о знакоопределенности (и даже о полуопределенности) квадратичной формы, совсем не обязательно приводить ее к каноническому виду. Ниже доказывается важное утверждение, называемое критерием Сильвестра, на основании которого можно распознать знакоопределенность любой квадратичной формы, имея в распоряжении ее матрицу в любом базисе (даже не обязательно ортонормированном).

Теорема 1.18 (Критерий Сильвестра) Пусть квадратичная форма

задана в каком-то базисе в виде

(1)

(матрица , вообще говоря, не совпадает с матрицей линейного оператора !).

Тогда для положительной определенности данной формы необходимо и достаточно, чтобы все определители

были положительны.

Доказательство. Исходное представление (1) преобразуем таким образом, чтобы выделить все члены, содержащие :

(1а)

(в предположении ).

Приравнивая коэффициенты при произведении , получим:

,

откуда

(2)

Выражение (2) очень похоже на выражение для пересчета матрицы на первом шаге процедуры Гаусса решения системы линейных уравнений (первый семестр!). Этот шаг, напомним, состоит в вычитании из каждой -ой строки матрицы (начиная со второй) первой строки, умноженной на ( в предположении, разумеется, что ведущий элемент отличен от нуля). Кроме того, индекс столбца в методе Гаусса изменялся от единицы.

Но матрица квадратичной формы предполагается симметрической в любом базисе (по определению), и потому . Требование же ничего не меняет, так как из формулы (2) при подстановке в нее получается , что предполагается при переходе от формулы (1) к формуле (1а).

Итак, мы можем отождествить введенное преобразование с первым шагом метода Гаусса. После него матрица квадратичной формы примет вид:

После этого подвергнем подматрицу точно такому же преобразованию (полагая, как и в методе Гаусса, что новый ведущий элемент отличен от нуля).

После шага таких элементарных преобразований, где -ранг квадратичной формы (и ранг матрицы ), получим матрицу

Данное преобразование матрицы определяет преобразование базиса, согласно которому новые координаты векторов (новые переменные квадратичной формы) связаны со старыми формулами:

(3)

Квадратичная форма при этом принимает вид:

(4)

Поскольку элементарное преобразование, выполняемое на каждом шаге метода Гаусса, не меняет ни ранга, ни определителя матрицы (первый семестр!), мы можем написать:

Полагая для удобства , получим простую формулу:

,

откуда

,

и формула (4) примет вид:

(5)

Мы привели исходную форму к каноническому виду (описанный метод называется методом Лагранжа). Тогда, используя утверждение 1.22, можно сделать вывод, что наша форма положительно определена тогда и только тогда, когда в (5) и , т.е., так как , то для каждого .

Теорема доказана.

Следствие 1.6 Квадратичная форма отрицательно определена тогда и только тогда, когда знаки определителей чередуются в такой последовательности:

,

т.е., все определители с четными номерами положительны, а с нечетными отрицательны.

Доказательство. Упражнение.

Из доказанных результатов можно сделать вывод, что если не все определители положительны, но все отличны от нуля, и их знаки меняются в зависимости от номера иначе, чем указано в следствии 1.6, то рассматриваемая квадратичная форма является формой общего вида. При равенстве некоторых определителей нулю форма может быть полуопределенной, но, в частности, неотрицательности их всех не достаточно для положительной полуопределенности. Можно лишь утверждать, что необходимо и достаточно, чтобы какие-то из определителей были положительны. Можно доказать, что это требование равносильно требованию неотрицательности любого определителя вида:

Мы, однако, не будем здесь строго даже формулировать матричный критерий полуопределнности квадратичной формы.

Критерий Сильвестра будет нашим основным инструментом при исследовании на экстремум функций нескольких переменных.

1.18. Гиперповерхности второго порядка

Мы будем использовать обозначение для арифметического пространства со стандартно введенным скалярным произведением (п. 1.6). В силу теоремы 1.3 и особенностей вычисления скалярного произведения в ортонормированном базисе мы можем отождествить с любое конечномерное евклидово пространство. Векторы этого пространства будем называть также его точками. «Базис» в этом разделе, если не оговорено противное, означает ортонормированный базис.

Определение 1.31 Гиперповерхность второго порядка в (-мерная гиперповерхность) есть множество точек , удовлетворяющее уравнению:

, (1)

где - некоторый фиксированный самосопряженный линейный оператор, - некоторый постоянный вектор, - некоторая вещественная константа.

Фиксируя какой-то базис , перепишем (1) в виде:

, (2)

где

,

.

Вместо (2) можно записать также

(3)

Таким образом, в уравнении гиперповерхности второго порядка (в каком бы виде мы его ни записали - (1), (2) или (3)) можно выделить три части: квадратичную форму, определенную некоторым самосопряженным оператором, линейную форму и числовую константу. Для размерностей 2 и 3 говорят о кривых и поверхностях второго порядка соответственно. Иногда и в общем случае мы будем говорить просто «поверхность» вместо «гиперповерхности». Гиперповерхности второго порядка называют еще и гиперквадриками.

Наша ближайшая цель состоит в построении классификации гиперповерхностей второго порядка на основе общего анализа уравнений (1)-(3). Тем самым будет строго обоснована (выведена) та чисто описательная классификация, которую мы рассматривали в первом семестре.

Приведем квадратичную форму, фигурирующую в уравнении поверхности к каноническому виду методом ортогональных преобразований (п. 1.15). Получим следующее представление уравнения (3):

, (4)

где

,

- собственные числа оператора , а - матрица соответствующего ортогонального преобразования, диагонализирующего указанный оператор.

Теперь рассмотрим следующие случаи.

Случай 1. Все собственные числа положительны, ранг квадратичной формы равен размерности пространства:

Тогда квадратичная форма положительно определена - гиперповерхности соответствующие этому случаю называются эллипсоидами.

Уравнение эллипсоида можно преобразовать, выделяя по каждой переменной полный квадрат:

,

или

, (5)

где

,

Положим в (5)

,

получим

(6)

Возможны следующие случаи ( и отвечающие им классы эллипсоидов):

1. 

В этом случае, положив , получим уравнение

(7)

Числа называются полуосями эллипсоида. При равенстве всех полуосей ( ) получаем гиперсферу радиуса .

В трехмерном случае (переобозначая переменные и полуоси) придем к известному из курса аналитической геометрии уравнению эллипсоида:

Если в последнем уравнении две из трех полуосей равны между собой, получаем поверхность, называемую эллипсоидом вращения.

В двумерном случае получаем обычный эллипс:

2. 

В этом случае аналогично уравнению (7) получим

(8)

Ясно, что (8) не может удовлетвориться в вещественной области. Определяемая этим уравнением поверхность носит название мнимого эллипсоида. Очевидно, мнимый эллипсоид не имеет ни одной точки в пространстве .

3. 

Здесь имеем

(9)

Уравнению (9) удовлетворяет только нулевой вектор. Эта поверхность, выродившаяся в точку, называется вырожденным эллипсоидом.

Итак, чтобы от исходного уравнения гиперквадрики (3), определяющий некоторый эллипсоид, перейти к уравнению (6), мы совершили два преобразования: первое, линейное, приводит задающую поверхность квадратичную форму к каноническому виду, выявляя ее ранг и сигнатуру; второе, нелинейное, а именно сдвиг на вектор , переносит начало координат в соответствующем аффинном пространстве начало координат в точку, координаты которой в каноническом базисе квадратичной формы совпадают с одноименными координатами указанного вектора переноса и которая называется центром данной поверхности. Подчеркнем, что этот перенос начала координат имеет место в такой форме только при совпадении ранга квадратичной формы с размерностью пространства. Гиперповрехности, имеющие центр, называются центральными. Как видим, эллипсоиды суть центральные поверхности.

Случай 2. Все собственные числа отличны от нуля, но среди них есть и положительные, и отрицательные; ранг квадратичной формы равен размерности пространства:

В этом случае получаем поверхности, именуемые гиперболоидами.

Гиперболоиды также являются центральными поверхностями, и общее уравнение гиперболоида легко, как и уравнение эллипсоида преобразовать к виду ( при !):

(10)

Величины называются полуосями гиперболоида. В трехмерном случае имеем два типа гиперболоидов:

1) однополостные - сигнатура квадратичной формы в (10) равна 1:

(однополостный гиперболоид с осью симметрии, совпадающей с осью ).

2) двуполостные - сигнатура квадратичной формы в (10) равна -1:

(двуполостный гиперболоид с осью симметрии, совпадающей с осью ).

В плоском случае получаем два вида гиперболы:

(с фокусами на оси абсцисс) и

(с фокусами на оси ординат).

В классе гиперболоидов можно выделить подкласс вырожденных поверхностей, называемых конусами. Этот случай (выделяемый иногда в особый, вне случая гиперболоидов) получается при (в уравнении вида (6)). Тогда вместо уравнения (10) будем иметь:

(11)

Трехмерный конус, ось симметрии которого совпадает с осью аппликат, задается уравнением:

При получаем круговой конус.

В двумерном случае конус вырождается в пару прямых:

Случай 3. Ранг квадратичной формы строго меньше размерности пространства:

В рамках этого соотношения ранга квадратичной формы и размерности пространства рассмотрим несколько подслучаев:

1. , т.е., .

Выделение полных квадратов в уравнении (4) теперь даст:

,

или

,

если обозначить

Положив в последнем уравнении

,

получим

(12)

Если в (12) , мы получим класс гиперповерхностей второго порядка, называемых параболоидами.

Если стоящая в (12) квадратичная форма имеет сигнатуру , то параболоид называется эллиптическим; в противном случае получаем гиперболический параболоид («седловую» поверхность).

В уравнении (12) можно сделать преобразование, заменив

и переписав (12) в виде:

(13)

Таким образом, исследуя уравнение параболоида, мы, как и в случае центральных поверхностей (эллипсоидов и гиперболоидов), совершили сначала линейное преобразование (ортогональное), перейдя базису, каноническому для квадратичной формы ранга , фигурирующей в исходном уравнении. После этого мы совершили нелинейное преобразование сдвига, перенеся начало координат в точку , которая называется вершиной параболоида. Заметим, что первые координат вершины суть координаты центра той центральной поверхности, которая определяется квадратичной формой ранга . Размерность этой поверхности будет также на единицу меньше размерности параболоида и составит . Для эллиптического параболоида эта поверхность является - мерным эллипсоидом, а для гиперболического - - мерным гиперболоидом.

Если размерность пространства равна двум, то параболоид превращается в обычную «школьную» параболу:

.

В трехмерном случае уравнение эллиптического параболоида, ось симметрии которого совпадает с осью аппликат, есть

В любом сечении плоскостью, перпендикулярной оси аппликат, мы получим эллипс - обычный, вырожденный (сечение плоскостью ) или мнимый (если , это будет сечение при отрицательном ). При возникает параболоид вращения (с осью вращения ).

Гиперболический параболоид («седло») имеет уравнение:

.

В любом сечении плоскостью, перпендикулярной оси аппликат, на сей раз получим гиперболу, вырождающуюся в плоскости в пару прямых. Сечения выше и ниже указанной координатной плоскости дадут пару сопряженных гипербол (т.е., гипербол, фокусы которых находятся на двух взаимно перпендикулярных осях).

Когда же в уравнении (12) , из уравнения исчезнет переменная , и мы получаем поверхность, именуемую центральным -мерным цилиндром.

В трехмерном пространстве (при условии, что образующая цилиндра перпендикулярна плоскости ) имеем:

- эллиптический цилиндр;

- гиперболический цилиндр.

Центр цилиндра - точка с координатами (в каноническом базисе квадратичной формы):

Эта точка есть не что иное как центр соответствующей центральной гиперповерхности (эллипсоида или гиперболоида), имеющей на единицу меньшую, чем сам цилиндр, размерность. Эта поверхность называется направляющей цилиндра. Так, для трехмерного эллиптического цилиндра направляющей будет эллипс (в частности, окружность - тогда получаем круговой цилиндр), для гиперболического - гипербола.

Заметим, что на плоскости цилиндр вырождается в пару параллельных прямых:

3.2. .

Вместо уравнения (12) получим тогда уравнение вида: