3. Ряды распределения и их характеристики
Средние величины
Средняя арифметическая простая:
.
Средняя арифметическая взвешенная:
.
Средняя арифметическая взвешенная по способу моментов:
х = х0 + k х1,
где х0 – условный нуль;
k – величина, на которую делят разность между значениями вариантов и условным нулем (х – х0);
х1 – момент первого порядка, определяемый по формуле
.
Средняя гармоническая простая:
.
Средняя гармоническая взвешенная:
,
где F – объем признака F = хf.
Типовая задача 5. Рассчитать среднее время горения электроламп методом моментов:
Таблица 3.1
Группы электроламп по времени горения, ч |
Число электроламп, шт (f) |
Х |
Х-Х0 (Х0=1300) |
К = 200 |
|
800-1000 |
2 |
900 |
-400 |
-2 |
-4 |
1000-1200 |
8 |
1000 |
-200 |
-1 |
-8 |
1200-1400 |
16 |
1300 |
0 |
0 |
0 |
1400-1600 |
9 |
1500 |
200 |
1 |
9 |
1600-1800 |
4 |
1700 |
400 |
2 |
8 |
1800-2000 |
1 |
1900 |
600 |
3 |
3 |
Итого |
40 |
|
|
|
8 |
,
х = 1300 + 0,2 200 = 1340.
Типовая задача 6. Определить время изготовления одной детали.
Таблица 3.2
Порядковый номер рабочего |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
Время, затраченное рабочим на изготовление 1-й детали, мин |
15 |
20 |
10 |
22 |
18 |
В задаче неизвестно, сколько деталей изготовлено каждым рабочим (f), но известно, что каждый рабочий отработал полную смену. Продолжительность смены есть объем признака F = xf. Так как объемы признака у рабочих равны (продолжительность смены одна и та же), то для расчета используем формулу средней гармонической простой.
,
.
Структурные средние
Мода – наиболее часто встречающаяся величина признака в совокупности:
где Хmo – нижняя граница модального интервала;
imo – величина модального интервала;
fmo, fmo-1, fmo+1 – соответственно частоты модального, предмодального и послемодального интервалов.
Медиана – значение признака, делящего ранжированный ряд на две равные части:
где Хme – нижняя граница медианного интервала;
ime – величина медианного интервала;
f – сумма частот ряда;
Sme-1 – сумма накопленных частот до медианного интервала;
fme – частота медианного интервала.
Типовая задача 7. По данным типовой задачи 5 определить моду и медиану.
Для определения моды выбираем тот интервал, у которого максимальная частота. Это будет третий интервал (1200 - 1400).
Для определения медианы выбираем тот интервал, у которого сумма накопленных частот содержит половину всех частот. Это опять тот же 3-й интервал 1200 – 1400 (сумма накопленных частот этого интервала: 2 + 8 + 16 = 26. Половина всех частот: 40/2 = 20). Сумма накопленных частот до медианного интервала: 2 + 8 = 10.
Показатели вариации
Размах вариации:
.
Среднее линейное отклонение:
Простое Взвешенное
Дисперсия:
При неравенстве частот При равенстве частот
. .
Среднее квадратическое отклонение:
.
Дисперсия альтернативного признака:
,
где р – доля единиц совокупности, обладающих признаком;
g – доля единиц совокупности, не обладающих признаком.
Упрощенный способ расчета дисперсии:
,
где
Моментальная формула расчета дисперсии:
где
Коэффициент вариации:
.
Правило сложения дисперсии:
,
где - средняя из групповых дисперсий.
где - групповые или частные дисперсии.
где 2 – межгрупповая дисперсия.
Типовая задача 8. Проверить правило сложения дисперсии по исходным данным:
Таблица 3.3
Группы рабочих по размеру среднедневной заработной платы, р. |
Число рабочих |
|||
Цех 1 |
Цех 2 |
Цех 3 |
Всего по заводу |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
70-80 |
10 |
30 |
10 |
50 |
80-90 |
20 |
40 |
40 |
100 |
Продолжение табл. 3.3 |
||||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
90-100 |
50 |
10 |
140 |
200 |
100-110 |
60 |
80 |
120 |
260 |
110-120 |
40 |
70 |
80 |
190 |
120-130 |
20 |
60 |
60 |
140 |
130-140 |
0 |
10 |
50 |
60 |
Итого |
200 |
300 |
500 |
1000 |
Определяем по способу моментов среднюю заработную плату (х ), дисперсию (2) для всей совокупности рабочих (10000 человек), а также среднюю заработную плату и дисперсию для каждого цеха (т.е. средниех1,х2,х3, и групповые дисперсии 12, 22, 32), как это показано в табл. 3.4.
Для всей совокупности:
Средние по группам:
Групповые дисперсии:
Средняя из групповых дисперсий:
Межгрупповая дисперсия:
Подставляя в формулу соответствующие значения, получаем
2 = 230,67 + 2,33 = 233.
Задачи
3.1. Имеются следующие данные о выпуске продукции по 23 предприятиям, млн. р.
28 94 19 25 35 32 23 25
86 15 32 42 34 13 34 50
4 36 60 32 2 56 54
Определить средний объем выпуска на одно предприятие.
3.2. Определить среднемесячную ЗП рабочих предприятия.
Таблица 3.6
Исходные данные к задаче 3.2
Месячная ЗП, р. |
Число рабочих, чел. |
110 |
2 |
130 |
6 |
160 |
16 |
190 |
12 |
220 |
14 |
ИТОГО |
50 |
3.3. Определить средний стаж работников торгового предприятия.
Таблица 3.7
Исходные данные к задаче 3.3
Продолжительность стажа работы, лет |
Частость, w % |
3 |
20 |
4 |
40 |
5 |
30 |
6 |
10 |
ИТОГО |
100 |
3.4. Бригада было занята обточкой одинаковых деталей в течение 8-часового рабочего дня. Первый токарь обтачивал одну деталь 12 минут, второй – 15 мин., третий – 11 мин., четвертый – 16 мин. и пятый – 14 мин. Определить среднее время, затрачиваемое на изготовление одной детали.
3.5. Имеются следующие данные об издержках производства и себестоимости продукции по трем предприятиям. Определить среднюю себестоимость продукции.
Таблица 3.8
Исходные данные к задаче 3.5
Номер предприятия |
Издержки производства, тыс. р. |
Себестоимость единицы продукции, р. |
1 |
200 |
20 |
2 |
460 |
23 |
3 |
110 |
22 |
3.6. Определить среднюю заработную плату рабочих по двум цехам за сентябрь, октябрь и в целом за два месяца.
Таблица 3.9
Исходные данные к задаче 3.6
Номер цеха |
Сентябрь |
Октябрь |
||
Средняя ЗП, р. |
Число рабочих, чел. |
Средняя ЗП, р. |
Фонд ЗП, р. |
|
1 |
56000 |
320 |
57000 |
17100000 |
2 |
58000 |
200 |
60000 |
15000000 |
Итого |
- |
520 |
- |
32100000 |
3.7. Определить среднюю урожайность зерновых в целом по всем хозяйствам.
Таблица 3.10
Исходные данные к задаче 3.7
Хозяйство |
Урожайность зерновых, ц/га |
Валовой сбор зерна, ц |
1 |
18 |
18 000 |
2 |
20 |
30 000 |
3 |
21 |
63 000 |
4 |
22 |
44 000 |
5 |
25 |
30 000 |
ИТОГО |
- |
185 000 |
3.8. Автомашина совершила рейс общей протяжен-ностью 500 км, из которых 240 км прошла со скоростью 30 км/ч, 160 км – со скоростью 40 км/ч, а 100 км – со скоростью 25 км/ч. Определить среднюю скорость, с которой двигалась машина.
3.9. Двое рабочих в течение 8-часового рабочего дня были заняты изготовлением одинаковых деталей. Первый изготовил 32 детали, а второй – 24 детали.
Определить среднее значение затрат времени на изготовление одной детали.
3.10. Автомашина шла 3 часа со скоростью 30 км/ч, 5 часов – 40 км/ч, 2 часа – 50 км/ч. Определить среднюю скорость.
3.11. Определить с помощью метода моментов средний размер товарооборота.
Таблица 3.11
Исходные данные к задаче 3.11
Группы предприятий по размеру товарооборота, тыс. р. |
Число предприятий |
до 400 |
9 |
400 – 500 |
12 |
500 – 600 |
8 |
600 – 700 |
9 |
Свыше 700 |
2 |
ИТОГО |
40 |
3.12. Определить моду.
Таблица 3.12
Исходные данные к задаче 3.12
Группы рабочих по уровню образования, число классов |
до 4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
Число рабочих, чел. |
10 |
10 |
12 |
32 |
15 |
6 |
25 |
3.13.Определить моду.
Таблица 3.13
Исходные данные к задаче 3.13
Размер совокупного дохода на члена семьи, р. |
65 |
100 |
210 |
230 |
260 |
свыше 260 |
Число семей, % к итогу |
5 |
12 |
42 |
19 |
10 |
12 |
3.14. Определить моду.
Таблица 3.14
Исходные данные к задаче 3.14
Группы порций торфа по влажности, % |
Число проб |
20 – 22 |
3 |
22 – 24 |
6 |
24 – 26 |
11 |
26 – 28 |
18 |
28 – 30 |
7 |
30 – 32 |
5 |
ИТОГО |
50 |
3.15. Определить моду и медиану.
Таблица 3.15
Исходные данные к задаче 3.15
Группы предприятий по числу рабочих, чел. |
Число предприятий |
1 |
2 |
100 – 200 |
4 |
Продолжение табл. 3.15 |
|
1 |
2 |
200 – 300 |
5 |
300 – 400 |
8 |
400 – 500 |
35 |
500 – 600 |
22 |
600 – 700 |
20 |
700 – 800 |
6 |
ИТОГО |
100 |
3.16. Определить моду и медиану.
Таблица 3.16
Исходные данные к задаче 3.16
Тарифный разряд |
Число рабочих |
2 |
4 |
3 |
5 |
4 |
9 |
5 |
4 |
6 |
2 |
ИТОГО |
24 |
3.17. Имеются данные о производительности труда 50 рабочих. Определить среднее линейное отклонение.
Таблица 3.17
Исходные данные к задаче 3.17
Произведено продукции одним рабочим за смену, шт., x |
Число рабочих f |
8 |
7 |
9 |
10 |
10 |
15 |
11 |
12 |
12 |
6 |
ИТОГО |
50 |
3.18. Определить размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсию, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации.
Таблица 3.18
Исходные данные к задаче 3.18
Продукция на 100 га угодий, тыс. р. |
Число хозяйств |
10 |
2 |
12 |
5 |
17 |
7 |
20 |
3 |
22 |
2 |
25 |
1 |
ИТОГО |
20 |
3.19. Определить показатели вариации.
Таблица 3.19
Исходные данные к задаче 3.19
Число изделий, шт. |
Число рабочих, чел. f |
до 60 |
10 |
60 – 70 |
20 |
70 – 80 |
50 |
80 – 90 |
15 |
90 – 100 |
5 |
ИТОГО |
100 |
3.20. Определить дисперсию по способу моментов.
Таблица 3.20
Исходные данные к задаче 3.20
Группы предприятий по выпуску продукции, т |
Число предприятий, % к итогу |
1000 - 3000 |
12 |
3000 – 5000 |
20 |
5000 – 7000 |
40 |
7000 – 9000 |
18 |
9000 – 11000 |
10 |
ИТОГО |
100 |
3.21. Определить дисперсию по способу моментов.
Таблица 3.21
Исходные данные к задаче 3.21
Группы работников по стажу работы, лет |
Число работников, % к итогу
|
до 2 |
- |
2 – 4 |
3 |
4 – 6 |
20 |
6 – 8 |
10 |
8 – 10 |
32 |
10 – 12 |
20 |
12 – 14 |
10 |
Свыше 14 |
5 |
ИТОГО |
100 |
Домашнее задание
Задача 1. Определить среднедневное число деталей, обработанных одним рабочим каждой бригады и в целом по двум бригадам.
Таблица 3.22
Номер рабочего 1 бригады |
Дневная выработка рабочего 1 бригады, шт. |
Номер рабочего 2 бригады |
Дневная выработка рабочего 2 бригады, шт. |
1 |
70 |
1 |
74 |
2 |
73 |
2 |
83 |
3 |
68 |
3 |
81 |
4 |
75 |
4 |
100 |
5 |
75 |
5 |
73 |
6 |
* |
6 |
80 |
Задача 2. Определить среднюю ЗП рабочих в целом по предприятию.
Таблица 3.23
Цехи |
1 |
2 |
3 |
4 |
Средняя ЗП, р. |
1100 |
1230 |
1150 |
1350 |
ФОТ, % к итогу |
20 |
30 |
10 |
40 |
Задача 3. Определить среднюю цену реализации.
Таблица 3.24
Предприятие |
Цена единицы продукции, р. |
Объем реализации, тыс. р. |
1 |
30 |
600 |
2 |
20 |
1000 |
3 |
35 |
350 |
ИТОГО |
- |
1950 |
Задача 4. Определить среднее число рабочих в бригаде.
Таблица 3.25
Группы бригад по числу рабочих, чел. |
Число бригад |
Середина интервала |
16 – 20 |
80 |
18 |
21 – 25 |
44 |
23 |
26 – 30 |
100 |
28 |
31 – 35 |
200 |
33 |
36 – 40 |
40 |
38 |
41 – 50 |
20 |
43 |
46 – 50 |
16 |
48 |
ИТОГО |
500 |
- |
Задача 5. Распределение гостиниц региона по числу обслуживаемых туристов в месяц характеризуется следующими данными:
Таблица 3.26
Группы гостиниц по числу принимаемых туристов в месяц, чел. |
1800-2000 |
2000-2200 |
2200-2400 |
2400-2600 |
2600-2800 |
2800-3000 |
3000-3200 |
Число гостиниц, процент к итогу |
7,3 |
10,4 |
12,2 |
25,5 |
22,4 |
14,6 |
7,6 |
Определите методом условного нуля (методом моментов) среднее число туристов, обслуживаемых гостиницами в месяц.
Задача 6. Распределение численности рабочих и служащих по возрасту в промышленности, сфере услуг и медицины характеризуется следующими данными:
Таблица 3.27
Возраст, лет |
Численность рабочих и служащих в процентах к итогу |
||
промышленность |
сфера услуг |
медицина |
|
До 25 |
9 |
14,1 |
5,1 |
25-35 |
34,9 |
29,7 |
7,9 |
35-45 |
35,6 |
26,3 |
11,5 |
45-50 |
8,1 |
12,8 |
27,7 |
50-55 |
7,3 |
10,5 |
24,6 |
55-60 |
4 |
4,5 |
15,4 |
60 и старше |
1,1 |
2,1 |
7,8 |
Итого |
100 |
100 |
100 |
Определите моду, медиану, квартили и децили возраста работающих по отраслям народного хозяйства. Сделайте выводы.
Задача 7. Имеются следующие данные о длине маршрута движения городского транспорта:
Таблица 3.28
Длина маршрута, км |
До 8 |
8-10 |
10-12 |
12-14 |
14-16 |
16-18 |
Свы-ше 18 |
Число единиц городского транспорта, в процентах к итогу |
3,0 |
12,8 |
15,2 |
15,3 |
38,0 |
10,4 |
5,3 |
Определите моду, медиану, квартили и децили длины маршрута городского транспорта.
Задача 8. Определить:
1) среднюю урожайность в 1996 и 1997 гг.
2) изменение средней урожайности в 1997 г. по сравнению с 1996 г.
3) показатели вариации за 1997 г.
Таблица 3.29
Номер хозяйства |
1996 г. |
1997 г. |
||
Урожайность пшеницы, ц/га |
Посевная площадь, га |
Урожайность пшеницы, ц/га |
Валовой сбор зерновых, ц |
|
1 |
19,0 |
250 |
21,2 |
5300 |
2 |
20,5 |
260 |
22,0 |
6600 |
3 |
23,0 |
300 |
24,0 |
7680 |
Задача 9. Определить показатели вариации.
Таблица 3.30
Группы студентов по возрасту, лет x |
Число студентов, чел. f |
17 |
10 |
18 |
50 |
19 |
70 |
20 |
30 |
21 |
10 |
ИТОГО |
170 |