Пусть имеется выборка результатов испытаний

Столбец 1		Столбец 2		Столбец 3		Столбец 4		Столбец 5
X	Y	X	Y	X	Y	X	Y	X	Y
4.22	117.00	4.14	112.58	4.20	116.18	4.17	114.23	3.71	89.89
4.08	109.32	3.44	77.16	3.57	83.29	4.08	109.12	3.51	80.42
3.59	83.82	4.06	108.45	3.99	104.67	4.39	127.32	4.31	122.32
4.17	114.48	4.67	144.03	4.35	124.64	3.47	78.42	3.81	95.21
4.06	108.41	3.85	97.31	3.86	97.60	3.46	77.66	4.26	119.62
3.55	82.29	3.59	84.20	3.75	92.15	3.09	61.54	4.43	129.80
3.74	91.68	3.32	71.68	3.67	87.80	3.71	90.13	3.37	73.56
3.25	68.56	4.12	111.71	3.74	91.60	3.82	95.46	3.81	94.98
4.62	141.25	3.80	94.52	3.73	90.79	3.41	75.40	4.02	106.08
3.76	92.47	3.09	61.50	3.98	104.09	3.96	102.85	3.95	102.18
Столбец 6		Столбец 7		Столбец 8		Столбец 9		Столбец 10
X	Y	X	Y	X	Y	X	Y	X	Y
4.39	127.41	4.16	113.98	3.50	79.82	4.53	135.36	4.56	137.33
4.05	107.47	3.34	72.44	3.42	75.84	3.56	82.58	4.16	113.93
3.30	70.41	4.00	104.74	3.62	85.32	3.51	80.18	3.24	68.20
4.61	140.41	4.57	137.84	3.61	85.22	4.31	122.69	3.80	94.29
4.33	123.40	4.40	127.68	4.31	122.34	4.24	118.58	4.53	135.55
4.06	108.22	4.57	138.05	3.15	64.29	4.70	146.14	3.83	95.92
4.16	113.97	4.06	108.50	3.93	101.01	3.68	88.22	4.20	115.89
3.46	77.92	3.43	76.55	4.42	128.98	3.60	84.53	3.54	81.49
4.51	134.19	4.04	107.16	4.20	116.16	3.67	87.73	3.77	93.19
4.53	135.43	3.86	97.62	4.12	111.35	4.40	127.44	3.37	73.59

В данном примере объем выборки n =100

Для того, чтобы суждения о законах распределения СВ X или об ее числовых характеристиках были объективны, необходимо, чтобы выборка была представительной (репрезентативной), т.е. достаточно хорошо представляла исследуемую случайную величину. В силу закона больших чисел можно утверждать, что выборка будет репрезентативной, если ее осуществить случайно: каждый объект выборки отобран случайно из генеральной совокупности, если все объекты имеют одинаковую вероятность попасть в выборку. Выборка считается большой, если ее объем n >30, в противном случае выборка называется малой.

2. ПОСТРОЕНИЕ ВАРИАЦИОННОГО РЯДА.

Пусть изучается некоторая дискретная или непрерывная СВ, закон распределения которой известен. Статистический материал, полученный в результате измерений, представляют в виде таблицы, состоящей из двух строк, в первой из которых находятся расположенные в возрастающем порядке значения признака (для дискретной СВ) или интервалы (для непрерывной СВ), а во второй – их частота ; (число одинаковых значений дискретной СВ или число наблюдений в i-м интервале в случае непрерывной СВ). Такое представление признака и частот называется вариационным рядом.

На основе имеющейся выборки составляем интервальный статистический ряд для непрерывной СВ.

Для выбора оптимальной длины интервалов h воспользуемся формулой:

где – соответственно максимальное и минимальное значения признака X в выборке; l– количество интервалов. В данной работе мы будем использовать следующую формулу: , где n – объём выборки (можно воспользоваться формулой ).

Для нашего случая:

Найдём количество интервалов: .

Найдём длину интервалов (шаг): Примем значение шага равным 0.17.

Нижнюю границу первого интервала принимаем равной минимальному значению признака в выборке, т.е. .

Зная нижнюю границу первого интервала и длину интервала , построим весь интервальный ряд (Таблица 1. Столбец «Интервалы»).

Найдем середину каждого интервала (Таблица 1. Столбец «Середина интервала»), используя формулу: , где – конечное и начальное значения определённого интервала.

Проанализируем каждое значение имеющейся выборки на факт попадания в определённый интервал, а число значений, попавших в интервал, запишем в столбец «Частота». Проведём проверку полученных значений частот: .

В столбец «Накопленная частота» запишем значения, полученные по формуле:

Все вычисленные значения представим в виде таблицы 1.

3. ГРАФИЧЕСКОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ ВАРИАЦИОННЫХ РЯДОВ

Для наглядности статистические ряды представляют графиками, наиболее распространёнными являются полигон и гистограмма. Полигон применяется для изображения как дискретных, так и интервальных статистических рядов, гистограмма – для изображения только интервальных рядов. Покажем построение этих графиков на примере.

Таблица 1.

I	Интервалы	Середина интервала,	Частота,		Относительная частота,	Накопленная частота,	Относит. накопл. частота,
1	[3,09; 3,26)	3,175	*****	5	0,05	5	0,05
2	[3,26; 3,43)	3,345	*******	7	0,07	12	0,12
3	[3,43; 3,60)	3,515	**************	14	0,14	26	0,26
4	[3,60; 3,77)	3,685	*************	13	0,13	39	0,39
5	[3,77; 3,94)	3,855	***********	11	0,11	50	0,5
6	[3,94; 4,11)	4,025	**************	14	0,14	64	0,64
7	[4,11; 4,28)	4,195	**************	14	0,14	78	0,78
8	[4,28; 4,45)	4,365	***********	11	0,11	89	0,89
9	[4,45; 4,62)	4,535	********	8	0,08	97	0,97
10	[4,62; 4,79]	4,705	***	3	0,03	100	1
			Проверка: Σ=100

Для построения гистограммы частот на оси абсцисс откладываем частичные интервалы значений случайной величины , на каждом из которых строим прямоугольник, высота которого равна соответствующей частоте интервала .

Если на гистограмме частот соединить середины верхних сторон элементарных прямоугольников, то полученная замкнутая ломаная образует полигон распределения частот (рисунок 1).

Рисунок 1. – Графическое изображение вариационного ряда.

В теории вероятностей гистограмме и полигону относительных частот соответствует график плотности распределения. По виду полигона делают первоначальное предположение о законе распределения исследуемой случайной величины.

4. ЭМПИРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Пусть известен статистический ряд количественного признака X. Введем обозначения: – число наблюдений, при которых наблюдалось значение признака меньше х (накопленная частота); n – объем выборки; – относительная частота события Х < х (относительная накопленная частота).

Эмпирической функцией распределения называют функцию , равную относительной накопленной частоте события Х <х.

В отличие от эмпирической функции распределения выборки интегральную функцию распределения генеральной совокупности называют теоретической функцией распределения. Теоретическая функция распределения определяет вероятность события Х < х, т.е. Р(Х < х), эмпирическая – относительную частоту этого события. Вследствие закона больших чисел (теорема Бернулли) относительная частота события Х < х, т.е. F*(x) стремится к вероятности этого события, т.е. к F(x). обладает всеми свойствами F(x), а именно:

1) 0< <1;

2) – неубывающая функция;

3) =0 при х ,

4) =1 при х > .

Эмпирическая функция распределения выборки служит для оценки теоретической функции распределения генеральной совокупности.

Для построения графика эмпирической функции распределения (кумуляты) на оси абсцисс откладывают интервалы, на оси ординат – относительные накопленные частоты, соответствующие правым границам интервала. на левой границе первого интервала равна нулю. Кумулята представляет собой ломаную линию (рисунок 2).

Рисунок 2. – График эмпирической функции распределения.

5. ОСНОВНЫЕ ВЫБОРОЧНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

К основным выборочным характеристикам (показателям) относятся: средняя арифметическая, мода, медиана, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации, коэффициент асимметрии, эксцесса. Для определения перечисленных показателей удобно составить таблицу 2.

Таблица 2

i
1	3,175	5	15,875	–0,748	2,79752	–2,09254	1,565224
2	3,345	7	23,415	–0,578	2,338588	–1,3517	0,781285
3	3,515	14	49,21	–0,408	2,330496	–0,95084	0,387944
4	3,685	13	47,905	–0,238	0,736372	–0,17526	0,041711
5	3,855	11	42,405	–0,068	0,050864	–0,00346	0,000235
6	4,025	14	56,35	0,102	0,145656	0,014857	0,001515
7	4,195	14	58,73	0,272	1,035776	0,281731	0,076631
8	4,365	11	48,015	0,442	2,149004	0,94986	0,419838
9	4,535	8	36,28	0,612	2,996352	1,833767	1,122266
10	4,705	3	14,115	0,782	1,834572	1,434635	1,121885
			392,3		16,4152	–0,05896	5,518533

В зависимости от характеризуемых особенностей распределения обобщающие показатели можно разбить на три группы:

1. показатели центра распределения (центра группирования);

2. показатели степени рассеяния (вариации);

3. показатели формы распределения.