Tема 6 Приложения производной
Задача
9.
Исследовать
функцию
и
построить
ее
график.
Решение: Исследование функции проведем по следующей схеме:
1. Найдем область определения функции.
2. Исследуем функции на непрерывность.
3. Установим, является ли данная функция четной, нечетной.
4.Найдем интервалы возрастания и убывания функции и точки экстремума.
5. Найдем интервалы выпуклости и вогнутости кривой и точки ее перегиба.
6. Найдем асимптоты кривой.
Реализуем указанную схему:
1. Функция определена при всех значениях аргумента х, кроме х=1.
2. Данная функция является элементарной, поэтому она непрерывна на своей области определения, т. Е. на интервалах ( ; 1) и (1; ). В точке х=1 функция терпит разрыв второго рода.
3. Для установления четности или нечетности функции проверим выполнимость равенств f(-х) =f(x) (тогда f(x)— четная функция) или f(-х) =-f(х) (для нечетной функции) для любых х и – х из области определения функции:
Следовательно, f( - х) f(x) и f( - x) - f(x), то есть данная функция, не является ни четной, ни нечетной.
4. Для исследования функции на экстремум найдем её первую производную:
у'=0
при
х=0
и
у'
не
существует
при
х=1.
Тем
самым
имеем
две критические
точки:
х1=0,
х2=1.
Но
точка
х2=1
не
принадлежит
области
определения
функции,
экстремума
в ней
быть
не
может
Разобьем
числовую
ось
на
три
интервала
(рис.
5),-(
;
0),
(0; 1),(1;
).
В первом
и
третьем
интервалах
первая
производная
отрицательна,
следовательно, здесь
функция
убывает;
во
втором интервале
—
положительна
и данная
функция
возрастает. При
переходе
через
точку
х=0
первая
производная
меняет свой
знак
с
минуса
на плюс,
поэтому
в
этой
точке
функция имеет минимум:
ymin=y(0)=-1.
Значит,
А(0;
—
1)
— точка
минимума.
Рис.5
На рис. 5 знаками +, - указаны интервалы знакопостоянства производной y', а стрелками — возрастание и убывание исследуемой функции.
5. Для определения точек перегиба графика функции, интервалов выпуклости и вогнутости кривой найдем вторую производную:
y''=0
при
х=
и
у''
не
существует
при х=
l.
Разобьем
числовую ось
на
три
интервала (рис.
6);
(
;
),
(
;
1), (1;
).
На
первом
интервале
вторая
производная у''
отрицательна
и
дуга
исследуемой
кривой
выпукла;
на вто-ром
и
третьем
интервалах
у''>0,
тем
самым
график
является
вогнутым.
При
переходе
через
точку х=
у''
меняет
свой
знак, поэтому
х=
—
абсцисса
точки перегиба.
Следовательно,
В
—
точка перегиба
графика
функции.
Рис. 6
6.
х=1 – точка разрыва функции,
.Поэтому
прямая х=1 является вертикальной
асимптотой графика. Для определения
уравнения наклонной асимптоты y=kx+b
воспользуемся формулами:
При вычислении последнего предела использовалось правило Лопиталя.
Значит прямая у=0 есть горизонтальная асимптота графика исследуемой функции, представленного на рис. 7.
Рис.7
Задача 10. Резервуар, имеющий форму открытого сверху прямоугольного параллелепипеда с квадратным дном, нужно вылудить внутри оловом. Каковы должны быть размеры резервуара при его емкости 108 л воды, чтобы затраты на его лужение были наименьшими?
Решение. Затраты на покрытие резервуара оловом будут наименьшими, если при данной вместимости его поверхность будет минимальной.
Обозначим через а сторону основания, b — высоту резервуара. Тогда площадь S его поверхности равна а2+4ab, а объем V=а2b=108. Отсюда
и
Полученное соотношение устанавливает зависимость между площадью, поверхности резервуара S (функция) и стороной основания а (аргумент). Исследуем функцию S на экстремум. Найдем первую производную S', приравняем ее к нулю и решим полученное уравнение:
Отсюда,
а=6.
S`(а)>0
при
а>6,
S'(а)
<0
при
а<6.
Следовательно,
при
а=6
функция S
имеет
минимум.
Если,
а=6,
то b=3.
Таким
образом,
затраты
на
лужение
резервуара
емкостью
108
л
будут
наименьшими,
если
он имеет
размеры
6дм
6
дм
3
дм.
Вопросы для самопроверки
1. Сформулируйте теоремы Ролля, Лагранжа. Каков их геометрический смысл?
2. Какая функция называется возрастающей? Убывающей?
3. Сформулируйте необходимый, достаточный признаки возрастания и убывания функции.
4. Какие точки называются стационарными? Критическими?
5. Назовите достаточные признаки экстремума функции.
6. Какая кривая называется выпуклой? Вогнутой?
7. Как найти интервалы выпуклости и вогнутости кривой?
8. Сформулируйте достаточный признак существования точки перегиба кривой.
9.Что называется асимптотой кривой? Как найти вертикальные и наклонные асимптоты?
10. Назовите схему исследования функции и построения ее графика?
11.В каком случае применяется правило Лопиталя при вычислении пределов?