Тема 4 Введение в анализ

Разберите решение задач 6, 7 данного пособия.

Задача 6. Вычислить пределы:

a) , б)

в). г)

Решение. a) Подстановка предельного значения аргумента х= -3 приводит к неопределенному выражению вида . Для устранения этой неопределенности разложим числитель и знаменатель дроби на множители и сократим дробь на множитель (х+3). Такое сокращение здесь возможно, так как множитель (х+3) отличен от нуля при :

б). При выражение дает неопределенность вида . Для ее устранения умножим и разделим это выражение на

= = = ;

в). Обозначим arctg5x=y. Тогда 5x=tg y и при . Применяя свойства пределов и формулу первого замечательного предела имеем:

г). При выражается является неопределенностью вида . Для устранения этой неопределенности представим основание степени в виде суммы 1 и бесконечно малой при величины и применим формулу второго замечательного предела:

тогда имеем:

Пусть 2x+1=-4y. Тогда 4x+5=-8y+3 и при . Переходя к переменной y, получим:

Задача 7. Исследовать на непрерывность функцию .

Решение. Данная функция является элементарной. Известно, что всякая элемен-тарная функция непрерывна на своей области определения. Данная функция определена на интервалах ( - ; 1) и (1; ) и, следовательно, она непрерывна на этих интервалах. В точке х=1 функция имеет разрыв второго рода, поскольку в этой точке отсутствуют конечные односторонние пределы. График функции дан на рис. 4.

Рис. 4

Вопросы для самопроверки

1. Сформулируйте определение понятия функции.

2. Что называется областью определения функции? Областью изменения функции?

3. Перечислите основные элементарные функции. Назовите их основные свойства.

4. Какие функции называются элементарными? Приведите примеры.

5. Что называется пределом числовой последовательности?

6. Сформулируйте определение предела функции.

7. Назовите основные свойства пределов функций.

8. Какая функция называется бесконечно малой? Бесконечно большой?

9. Назовите свойства бесконечно малых функций.

10. Напишите формулы первого и второго замечательных пределов.

11. Какие логарифмы называются натуральными?

12. Дайте определение односторонних пределов функции в точке.

13. Какая функция называется непрерывной в точке? На интервале?

14. Какая точка называется точкой разрыва первого рода? Второго рода?

15. Перечислите основные свойства непрерывных на отрезке функций.

Тема 5 Производная и дифференциал

Разберите решение задачи 8 данного пособия.

Задача 8. Найдите производные функции:

а) , б) , в)

Pешение: а). Последовательно применяя правило дифференцирования сложной функции, правила и формулы дифференцирования, имеем:

б) у^/ = [(3 +1)⁴]^/ =4(3 +1) =

4(3 =4(3 =

в). В данном случае функциональная зависимость задана в неявном виде. Для нахождения производной у' нужно продифференцировать по переменной х обе части уравнения, считая при этом у функцией от х, а затем полученное уравнение разрешить относительно у'.

-sin(ху²)(ху²) ' – 6уу'+4 = 0, -sin (ху²);(у²+2хуу') – 6уу'+4 = 0,

-у² sin (ху²) – 2хуу' sin (ху²)'- 6уу'+4 = 0,

Из последнего уравнения находим у':

2уу' [х sin(ху²) +3] =4 – у²sin(ху²),

Вопросы для самопроверки

1. Что называется производной функции?

2. Каков геометрический, физический смысл производной?

3. Как взаимосвязаны непрерывность функции и ее дифференцируемость в точке?

4. Напишите основные правила дифференцирования функций.

5. Напишите формулы дифференцирования основных элементарных функций.

6. Сформулируйте правило дифференцирования сложной функции

7. Что называется дифференциалом функции?

8. Каков геометрический смысл дифференциала функции.

9. Перечислите основные свойства дифференциала функции.

10. Напишите формулу, позволяющую находить приближенное значение функции при помощи ее дифференциала.

11.Как найти производную второго, третьего, n-го порядков?

12. Как найти дифференциал второго порядка от данной функции?