Тема 3 Элементы линейной алгебры

Разберите решение задачи 5 данного пособия.

Задача 5. Данную систему уравнений записать в матричной форме и решить ее c помощью обратной матрицы:

x ₁— 2х₂+x₃=1,

2x₁+3х₂ — x₃=8

x₁ — х₂+2х₃=- 1

Решение. Обозначим через А матрицу коэффициентов при неизвестных; Х — матрицу-столбец неизвестных Х₁, X₂, X₃; H – матрицу-столбец свободных членов:

1 -2 1 X₁ 1

А= 2 3 -1 , Х= Х₂ H= 8 .

1 -1 2 X₃ -1

С учетом этих обозначений данная система уравнений принимает следующую матричную форму:

А  Х=Н (l)

Если матрица А — невырожденная (ее определитель отличен от нуля), то она имеет обратную матрицу А^-1. Умножив обе части уравнения (1) на А^-1 слева получим:

Но (Е — единичная матрица), а ЕХ=Х, Поэтому

(2)

Равенство (2) называется матричной записью решения системы линейных уравнений. Для нахождения решения системы уравнений необходимо вычислить обратную матрицу А^-1.

Пусть имеем невырожденную матрицу

а₁₁ а₁₂ а₁₃

А= а₂₁ а₂₂ а₂₃ . Тогда А^-1=

а₃₁ а₃₂ а₃₃

где А_ij (i=1, 2, 3; j=l, 2, 3) — алгебраическое дополнение элемента а_ij в определителе матрицы А, которое является произведением (-l)^i+j на минор (определитель) второго порядка, полученный вычерчиванием i-й строки и j-гo столбца в определителе матрицы А.

Вычислим определитель и алгебраические дополнения А_ij элементов матрицы А.

1 -2 1

= 2 3 -1 =10 0 следовательно, матрица А имеет обратную матрицу А^-1

1 -1 2

Тогда

5 3 -1

А^-1= = -5 1 3

-5 -1 7

По формуле (2) находим решение данной системы уравнений в матричной форме:

= 

Отсюда x₁=3, x₂ =0, x₃=-2

Вопросы для самопроверки

1. Что называется определителем второго, третьего, n-го порядков?

2. Назовите основные свойства определителей.

3. Что называется минором, алгебраическим дополнением элемента определите­ля?

4. Напишите формулы Крамера решения системы линейных уравнений. В каких случаях их можно использовать?

5. Назовите схему решения системы линейных уравнений по методу Гаусса.

6. Что называется матрицей?

7. Как определяются основные действия над матрицами?

8. Какая матрица называется обратной по отношению к данной матрице? Как найти матрицу, обратную данной?

9. Что называется рангом матрицы? Как найти ранг матрицы?

10. Сформулируйте теорему Кронекера - Капелли.

11. Опишите матричный способ решения системы линейных уравнений.

12. Какова геометрическая интерпретация систем линейных уравнений и неравенств?