
- •Оглавление
- •Введение
- •Общие методические указания
- •Тема 1 Элементы линейной алгебры
- •1 Решение систем линейных уравнений методами Крамера и Гаусса
- •Тема 2 Аналитическая геометрия на плоскости
- •Тема 3 Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве
- •Тема 3 Элементы линейной алгебры
- •Тема 4 Введение в анализ
- •Тема 5 Производная и дифференциал
- •Tема 6 Приложения производной
- •Задания для контрольной работы №1
Тема 3 Элементы линейной алгебры
Разберите решение задачи 5 данного пособия.
Задача 5. Данную систему уравнений записать в матричной форме и решить ее c помощью обратной матрицы:
x 1— 2х2+x3=1,
2x1+3х2 — x3=8
x1 — х2+2х3=- 1
Решение. Обозначим через А матрицу коэффициентов при неизвестных; Х — матрицу-столбец неизвестных Х1, X2, X3; H – матрицу-столбец свободных членов:
1 -2 1 X1 1
А= 2 3 -1 , Х= Х2 H= 8 .
1 -1 2 X3 -1
С учетом этих обозначений данная система уравнений принимает следующую матричную форму:
А Х=Н (l)
Если матрица А — невырожденная (ее определитель отличен от нуля), то она имеет обратную матрицу А-1. Умножив обе части уравнения (1) на А-1 слева получим:
Но (Е — единичная матрица), а ЕХ=Х, Поэтому
(2)
Равенство (2) называется матричной записью решения системы линейных уравнений. Для нахождения решения системы уравнений необходимо вычислить обратную матрицу А-1.
Пусть имеем невырожденную матрицу
а11 а12 а13
А= а21 а22 а23 . Тогда А-1=
а31 а32 а33
где Аij (i=1, 2, 3; j=l, 2, 3) — алгебраическое дополнение элемента аij в определителе матрицы А, которое является произведением (-l)i+j на минор (определитель) второго порядка, полученный вычерчиванием i-й строки и j-гo столбца в определителе матрицы А.
Вычислим определитель и алгебраические дополнения Аij элементов матрицы А.
1 -2 1
= 2 3 -1 =10 0 следовательно, матрица А имеет обратную матрицу А-1
1 -1 2
Тогда
5 3 -1
А-1= = -5 1 3
-5 -1 7
По формуле (2) находим решение данной системы уравнений в матричной форме:
=
Отсюда x1=3, x2 =0, x3=-2
Вопросы для самопроверки
1. Что называется определителем второго, третьего, n-го порядков?
2. Назовите основные свойства определителей.
3. Что называется минором, алгебраическим дополнением элемента определителя?
4. Напишите формулы Крамера решения системы линейных уравнений. В каких случаях их можно использовать?
5. Назовите схему решения системы линейных уравнений по методу Гаусса.
6. Что называется матрицей?
7. Как определяются основные действия над матрицами?
8. Какая матрица называется обратной по отношению к данной матрице? Как найти матрицу, обратную данной?
9. Что называется рангом матрицы? Как найти ранг матрицы?
10. Сформулируйте теорему Кронекера - Капелли.
11. Опишите матричный способ решения системы линейных уравнений.
12. Какова геометрическая интерпретация систем линейных уравнений и неравенств?