Занятие 3. «Кинематика материальной точки и вращательного движения»
1. Точка движется, замедляясь, по
окружности радиусом
так, что в каждый момент времени ее
тангенциальное и нормальное ускорение
по модулю равны друг другу. В начальный
момент
скорость точки равна
.
Найти: а) скорость точки в зависимости
от времени и от пройденного пути
;
б) полное ускорение точки в функции
скорости и пройденного пути.
(Ответ: а)
;
;
б)
)
2. Твердое тело вращается вокруг
неподвижной оси по закону
,
где
рад/с,
рад/с3.
Найти: а) средние значение угловой
скорости и углового ускорения за
промежуток времени от
до остановки; б) угловое ускорение в
момент остановки тела.
(Ответ: а)
;
;
б)
)
3. Твердое тело вращается вокруг
неподвижной оси так, что его угловая
скорость зависит от угла поворота по
закону
,
где
и
– положительные постоянные. В момент
времени
угол
.
Найти зависимости от времени: а) угла
поворота; б) угловой скорости.
(Ответ: а)
;
б)
)
4. Точка движется по плоскости так,
что ее тангенциальное ускорение
,
а нормальное
,
где
и
– положительные постоянные,
– время. В момент
точка покоилась. Найти зависимости от
пройденного пути
радиуса кривизны
траектории точки и ее полного ускорения
.
(Ответ:
;
)
5. Частица движется по дуге окружности
радиуса
по закону
,
где
– смещение из начального положения,
и
постоянные. Найти полное ускорение
частиц в точках
и
.
(Ответ:
;
)
6. Колесо вращается вокруг неподвижной
оси так, что угол
его поворота зависит от времени как
,
где
рад/с2. Найти полное ускорение
точки А на ободе колеса в момент
с,
если линейная скорость А в этот момент
м/с.
(Ответ:
)
7. Частица движется в плоскости
со скоростью
,
где
и
– орты осей,
и
– постоянные. В начальный момент времени
частица находилась в точке
.
Найти: а) уравнение траектории
;
б) радиус кривизны траектории в зависимости
от
.
(Ответ: а)
;
б)
)
8. Колесо вращается с постоянным
угловым ускорением
рад/с. Определите радиус колеса, если
через
с
после начала движения полное ускорение
колеса
м/с2.
Занятие 4. «Динамика материальной точки»
1. Брусок массой
кг
движется по шероховатой горизонтальной
поверхности с ускорением
м/с2,
когда на него действуют силой
Н,
направленной под углом
к горизонту. Найти коэффициент трения
и какой минимальной силой
и под каким углом
нужно подействовать на брусок, чтобы
его только сдвинуть с места? (Ответ:
;
Н;
)
2. Наклонная плоскость, образующая
угол
с плоскостью горизонта, имеет длину
м.
Тело, двигаясь равноускоренно, соскользнуло
с этой плоскости за время
с.
Определить коэффициент трения
тела о плоскость. (Ответ:
)
3. Шайбу положили на наклонную плоскость и сообщили направленную вверх начальную скорость . Коэффициент трения между шайбой и плоскостью равен . При каком значении угла наклона шайба пройдет вверх по плоскости наименьшее расстояние? Чему оно равно?
(Ответ:
;
)
4. Аэростат массы
начал опускаться с постоянным ускорением
.
Определить массу
балласта, который следует сбросить за
борт, чтобы аэростат получил такое же
ускорение, но направленное вверх.
Сопротивлением воздуха пренебречь.
(Ответ:
)
5. На столе стоит тележка массой
кг.
К тележке привязан один конец шнура,
перекинутого через блок. С каким
ускорением
будет двигаться тележка, если к другому
концу шнура привязать гирю массой
кг?
Коэффициент трения
.
6. Какова начальная скорость шайбы, пущенной по поверхности льда, если она остановилась через 40 с. Коэффициент трения равен 0,05.
7
.
Два соприкасающихся бруска скользят
по наклонной доске. Масса первого бруска
кг,
масса второго бруска
кг.
Коэффициент трения между бруском и
доской равен
для бруска 1 и
для бруска 2. Угол наклона доски
.
Определить: а) ускорение с которым
движутся бруски; б) силу
,
с которой бруски давят друг на друга.
8. На горизонтальной плоскости с
коэффициентом трения
лежит тело массой
.
В момент
к нему приложили горизонтальную силу,
меняющуюся со временем по закону
,
где
–
постоянный вектор. Найти путь, пройденный
телом за первые
секунд после начала действия этой силы.
(Ответ:
)
9. На небольшое тело массой
,
лежащее на гладкой горизонтальной
плоскости, в момент
начала действовать сила, зависящая от
времени по закону
,
где
–
постоянная. Направление этой силы все
время составляет угол
с горизонтом. Найти: а) скорость тела в
момент отрыва от плоскости; б) путь,
пройденный телом к этому моменту.
(Ответ:
)
10. Небольшое тело пустили снизу
вверх по наклонной плоскости, составляющей
угол
с горизонтом. Найти коэффициент трения,
если время подъема тела оказалось в
раза меньше времени спуска.
11. Самолет, летящей со скоростью 360 км/ч, описывает вертикальную петлю Нестерова радиусом 360 м. Определите силу, прижимающую летчика массой 80 кг к сиденью: 1) в нижней точке этой петли; 2) в верхней точке этой петли.