Задачи для самостоятельного решения

Вычислить несобственные интегралы.

3.11. . 3.12. .

3.13. . 3.14. .

3.15. .

Исследовать на сходимость следующие интегралы.

3.16. . 3.17. .

3.18. . 3.19. .

3.20. .

§ 4. Приближенные вычисления определенных интегралов

Формула трапеций. Разобьем отрезок [a, b] на n равных частей точками x_k = a + kh, где , k = 0, 1, …, n. Для приближенного вычисления интеграла можно применить формулу трапеций:

 f(x₀)+ f(x₁)+…+ f(x_n–1)+ .

Пусть функция f имеет на отрезке [a, b] ограниченную вторую производную f. Тогда погрешность R вычисления по формуле трапеций оценивается следующим образом:

| R | ≤ = ,

где M₂ = .

Формула Симпсона (формула парабол). Разобьем отрезок [a, b] на 2n равных частей точками x_k = a + kh, где . Для приближенного вычисления используется формула Симпсона (формула парабол):

 {f(x₀)+ f(x_2n)+4[f(x₁)+ f(x₃) +…+ f(x_2n–1)]+

+ 2[f(x₂)+ f(x₄)+…+f(x_2n–2)]}.

Если функция f(x) имеет на отрезке [a, b] ограниченную четвертую производную , то погрешность R формулы Симпсона можно оценить так:

| R |≤ = ,

где M₄ = .

Рассмотрим примеры (Примеры взяты из книги И.А. Марона «Дифференциальное и интегральное исчисление в примерах и задачах». – М.: Наука, 1970).

4.1. Вычислить интеграл

с точностью до 0,01 по формуле трапеций.

Решение. Вычислим вторую производную от f(x) = Получим = (4x² – 2) . Несложно найти M₂ = = 2. Таким образом, погрешность R формулы трапеций в данном случае оценивается так:

| R |≤ = .

Чтобы достигнуть требуемой точности, число n следует выбрать из неравенства < 0,01. Решая неравенство, получаем n > 4. Возьмем n = 5. Тогда h = 0,2. Составим таблицу (x_k = 0,2k, k = 0, 1, 2, 3, 4, 5). Вычисления будем вести с четырьмя знаками после запятой.

k	xk
0	0	0	1
1	0,2	–0,04	0,9608
2	0,4	–0,16	0,8521
3	0,6	–0,36	0,6977
4	0,8	–0,64	0,5273
5	1,0	–1,00	0,3679

0,12 + 0,9608 + 0,8521 + 0,6977 + 0,5273 + =

= 0,23,72185 = 0,7444.

4.2. Вычислить по формуле Симпсона интеграл с точностью до = 0,0001.

Решение. Чтобы добиться заданной точности, надо определить число отрезков разбиения 2n. Найдем четвертую производную от f(x) = . Последовательно дифференцируя, находим

= (0,0001x⁴ – 0,0004x³+0,12x² – 2,4x + 24) = ,

где P(x) – многочлен, заключенный в круглых скобках. Мы не будем искать точное значение M₄ = , нам достаточно постоянной M такой, что M₄ ≤ M и . Поэтому мы оценим сумму модулей отдельных слагаемых, входящих в сумму . Имеем

≤ + + + + .

Все слагаемые – убывающие на [0,5;1,5] функции, принимающие наибольшее значение при x = 0,5. Следовательно, ≤ 0,0002 + 0,016 + + 0,96 + 38,4 + 768 < 808 при x  [0,5;1,5]. Учитывая, что e^0,1x – возрастающая функция, находим e^0,1x ≤ e^0,15 < 1,2, x  [0,5; 1,5]. Таким образом,

≤ 8081,2 < 1000

при x[0,5; 1,5]. Число 2n определится из неравенства

= < < 0,0001.

Решая неравенство относительно 2n, получаем 2n > 15. Возьмем 2n = 20. Тогда шаг h интегрирования будет равным

h = = = 0,05.

При более точном подсчете получается, что при 2n = 20

| R | < 3,510^–5.

Если мы будем подсчитывать y_i = с пятью знаками после запятой, т.е. с погрешностью не более 10^–5, то ошибка окончательного округления будет тоже не больше 10^–5. Таким образом, общая ошибка будет меньше, чем 4,510^–5 < 0,0001.

Составим таблицу значений функции y = для значений x от 0,5 до1,5 с шагом h = 0,05. Вычисления ведутся с пятью знаками после запятой.

i	xi	0,1 xi	e0,1 xi	yi=
0	0,50	0,050	1,05127	2,10254
1	0,55	0,055	1,05654	1,92098
2	0,60	0,060	1,06184	1,76973
3	0,65	0,065	1,06716	1,64178
4	0,70	0,070	1,07251	1,53216
5	0,75	0,075	1,07788	1,43717
6	0,80	0,080	1,08329	1,35411
7	0,85	0,085	1,08872	1,28085
8	0,90	0,090	1,09417	1,21574
9	0,95	0,095	1,09966	1,15754
10	1,00	0,100	1,10517	1,10517
11	1,05	0,105	1,11071	1,05782
12	1,10	0,110	1,11628	1,01480
13	1,15	0,1,15	1,12187	0,97554
14	1,20	0,120	1,12750	0,93958
15	1,25	0,125	1,13315	0,90652
16	1,30	0,130	1,13883	0,87602
17	1,35	0,135	1,14454	0,84781
18	1,40	0,140	1,15027	0,82162
19	1,45	0,145	1,15604	0,79727
20	1,50	0,150	1,16183	0,77455

Сведем полученные данные в следующую таблицу.

I	xi	yi=
		при i =0 и нечетном i	при i =20 и четном i
0	0,50		2,10254
1	0,55	1,92098
2	0,60		1,76973
3	0,65	1,64178
4	0,70		1,53216
5	0,75	1,43717
6	0,80		1,35411
7	0,85	1,28085
8	0,90		1,21574
9	0,95	1,15754
10	1,00		1,10517

Окончание таблицы          

I	xi	yi=
		при i =0 и нечетном i	при i =20 и четном i
11	1,05	1,05782
12	1,10		1,01480
13	1,15	0,97554
14	1,20		0,93958
15	1,25	0,90652
16	1,30		0,87602
17	1,35	0,84781
18	1,40		0,82162
19	1,35	0,79727
20	1,50
0,77455 =2,87709		=12,02328	=10,62893

Применяя формулу Симпсона, получаем

 (2,87709 + 412,02328 + 210,62893) =

= 72,22807 = 1,2038.