Рекуррентные формулы

В этом пункте мы рассмотрим несколько примеров, в которых с помощью интегрирования по частям получаются рекуррентные формулы для определенных интегралов.

1.22. Вычислим интеграл , где n – натуральное число.

Решение. Разложение подынтегральной функции по формуле бинома Ньютона приводит к громоздким выкладкам. Проще вывести рекуррентную формулу. Представим интеграл I_n в виде

= – .

Последний интеграл проинтегрируем по частям:

= =

= + = .

Таким образом,

I_n = .

Отсюда вытекает

I_n= I_n-1.

Очевидно, что I₀ = a. Отсюда получаем

I_n = I_n–1 = I_n–2 = I_n–3 =…

...= a^{2n+1 .}

Принято обозначать 135…(2n + 1) = (2n + 1)!!, 2 4  …(2 n) = (2 n)!!. Тогда интеграл равен

I_n = a²ⁿ⁺¹ .

Замечание. При выводе формулы

I_n = I_n-1

нигде не использовалось то, что n – натуральное число. В действительности эта формула справедлива для любых действительных n, отличных от 0 и от .

1.23. Вычислить интеграл , где m – натуральное число.

Решение. Сделаем подстановку :

.

Здесь – интеграл из предыдущей задачи 1.22. Но

Следовательно,

.

Если m – нечетное число, то полученная рекуррентная формула сводит к

,

поэтому при

.

Если  – четное число, то рекуррентная формула сводит к

,

поэтому

.

Замечание. С помощью подстановки легко убедиться, что

.

1.24. Вычислить интеграл

,

где ; n – натуральное число.

Решение. Отметим прежде всего, что хотя подынтегральная функция не имеет смысла при , тем не менее, положив , мы получаем функцию, непрерывную на . Действительно,

,

что легко проверяется с помощью правила Лопиталя. Применяем формулу интегрирования по частям:

= – .

Таким образом, получаем

.

Отсюда вытекает

=…= .

Так как

,

то окончательно получаем

.

1.25. Вычислить интеграл

,

где и  – целые неотрицательные числа.

Решение. Вычисляем интеграл по частям:

= =

= + .

Отсюда получаем

.

Отметим, что полученная формула справедлива не только для целых и , а для всех и . Если – натуральное число, то, применяя формулу несколько раз, запишем

=…= ,

но

.

Следовательно,

= .

Если  – тоже целое неотрицательное число, то отсюда получаем

= = = ,

где – число сочетаний из m + n + 1 по n.

Задачи для самостоятельного решения

Вычислить следующие интегралы.

1.26. ; 1.27. ; 1.28. ;

1.29. ; 1.30. ; 1.31. .

1.32. Выяснить (не вычисляя), какой из интегралов больше:

а) или ; б) или ;

в) или .

1.33. Оценить интеграл

.

1.34. Доказать неравенства

1 < < e.

1.35. Найти производную:

а) ; б) ; в) .

1.36. Найти пределы:

а) ; б) .

Вычислить интегралы (1.37)–(1.43)

1.37. . 1.38. . 1.39. .

1.40. . 1.41. . 1.42. ;

1.43. .

Вычислить следующие интегралы, используя пример 1.19:

1.44. ; 1.45. ;

1.46. .

Вычислить следующие интегралы:

1.47. ; 1.48. ;

1.49. ; 1.50. .

1.51. Пусть

, n = 3,4…

Доказать рекуррентную формулу

+ .

1.52. Вычислить интеграл

,

где m, n – целые неотрицательные числа.