§ 7.5. Вычисленние потенциальной энергии.
А. При вычислении потенциальной энергии мы будем предполагать, что деформации не только материала, но и всей конструкции, следуя закону Гука, пропорциональны нагрузкам, т. е. линейна сними связанна и растут постепенно вместе с ними.
Мы знаем, что при статическом растяжении эли сжатии стержня силами P величина работы Ap, а следовательно, и величина энергии U равняется:
В случае сдвига
При кручении
Так же как и при кручении, может быть вычислена потенциальная энергия при чистом изгибе.
Концевые
сечения балки под действием изгибающих
моментов (Рис. 7.12) повернуться на угол
, где
- центральный угол изогнувшейся по дуге
радиусом ρ
оси балки .
Тогда
Так
как
,
а
=
.
Следует, что потенциальная энергия деформации равна половине произведения силы или пары сил на перемещение по ее направлении того сечения, где эта сила приложена. Условимся называть термином “обобщенная сила” всякую нагрузку, вызывающую соответствующее нагрузки перемещения, то есть и сосредоточенную силу и пару сил, и т. п.; перемещение же, соответствующее этой силе, будем называть “обобщенной координатой”. «Соответствие» заключается в том, что речь идет о перемещении того сечения, где приложена рассматриваемая сила, причем о таком перемещении, что произведение его на эту силу дает нам величину работы; для сосредоточенной силы это будет линейное перемещение по направлению действия силы — прогиб, удлинение; для пары сил — это угол поворота сечения по направлению действия пары.
Теперь мы можем определить: потенциальная энергия деформация численно равна половине произведения обобщенной силы на соответствующую ей координату:
где Р — обобщенная сила, δ — обобщенная координата.
Полученные ранее формулы показывают, что потенциальная энергия является функцией второй степени от независимых внешних сил, так как в эти формулы не входят реакция, зависящие от приложенных к элементу сил не связанные с ними уравнениями равновесия. Из тех же формул видно, что величина потенциальной энергии деформации является функцией второй степени от «обобщенных координат» системы и вполне ими определяется. Таким образом, порядок приложения нагрузок в этом отношении безразличен, важна лишь окончательная форма деформированного элемента. Поэтому, хотя результаты этого параграфа получены в предположении, что нагрузка возрастает статически, при сохранении равновесия в течение всего процесса нагружения, однако выведенные формулы сохраняют силу и при любом способе приложения нагрузок, лишь бы значения сил я деформаций были связаны линейной зависимостью и относились к тому моменту, когда установится равновесие конструкции.
Б. В общем случае изгиба изгибающий момент М(х) является величиной переменной.
В любом сечении ему будет сопутствовать поперечная сила Q(х).Поэтому рассматривать следует уже не всю балку в целом, а лишь бесконечно малый элемент балки длинной dx.
Под действием изгибающих усилий сечение элемента поворачивается и образуют между собой угол d0. Касательные же усилия стремятся вызвать перекос элемента; таким образом перемещения от нормальных напряжения идут перпендикулярно к направлению касательных напряжений и наоборот. Это позволяет независимо вычислить работу изгибающих касательных усилий.
Обычно работа касательных усилий оказывается малой по сравнению с работой нормальных, поэтому мы пока ею будем пренебрегать. Элементарная работа нормальных усилий (как в случае чистого изгиба) равна:
Или
Вся потенциальная энергия изгиба получится суммированием по длине балки
(7.6)
Знак предела интегрирования условно указывает, что интегрирование должно охватить всю балку; в тех случаях, когда для М(х) мы имеем несколько участков, интеграл (7.6) приходится разбивать на сумму интегралов .
Вычислим потенциальную энергию на двух опорах; нагруженной силой Р (Рис. 7.13). Эпюра моментов имеет два участка; поэтому
