5.6 Потенциальная энергия при кручении.

Выше, при изучении растяжения, было показано, что при деформации упругой системы в ней накапливается энергия, которую мы назвали потенциальной энергией деформации.

Это явление имеет место и при кручении. Если упругий стержень в пределах упругости закрутить на некоторый угол, то после удаления внешних сил он будет раскручиваться и может произвести работу за счёт накопившейся в стержне потенциальной энергии кручения. Пренебрегая необратимыми потерями (нагревание, внутреннее трение и т. п.), мы должны считать, что обнаруживаемая таким образом работа внутренних сил, определяемая количеством потенциальной энергии деформации U, равна работе внешних сил A.

Пусть имеется вал, закрепленный одним концом, к свободному концу которого будем прикладывать пару сил с моментом, постепенно возрастающим от нуля до конечного значения Mк. По мере возрастания величины момента пары сил будет расти и угол закручивания φ, связанный с Mк уравнением:

φ=MкlGJp.

Если откладывать по оси абсцисс углы закручивания (деформацию), а по оси ординат соответствующие значения крутящего момента, то их взаимная зависимость изобразится наклонной прямой ОА (Рис.5.13). Повторяя рассуждения, проведённые для вычисления работы силы Р при растяжении, найдем, что работа пары Mк выразится площадыо треугольиика ОАВ:

A=Mкφ2 (5.14)

Наличие множителя 12 в формуле (5.14) объясняется тем, что момент Mк был приложен не сразу всей своей величиной, а прикладывался в порядке постепенного, «статического» роста от нуля до конечного его значения.

Рис.5.13

Подставляя вместо φ его значение и имея в виду, что U=A, получим выражение для потенциальной энергии при кручении:

U=Mк2l2GJp (5.15)

Потенциальная энергии может быть выражена и через деформацию, если в формуле (11.20) заменить значение крутящего момента выражением из формулы (11.18):

Mк=GJpl·φ.

Тогда

U=GJp2lφ2 (5.16)

Из формул (5.15) и (5.16) видим, что потенциальная энергия при кручении, так же как и при растяжении, является функцией второй степени от силы или от деформации.

5.7 Определение предельной грузоподъёмности скручиваемого стержня.

В предыдущих параграфах мы определяли необходимые размеры скручиваемого стержня, выполняя условие, чтобы наибольшие касательные напряжения в точках у контура поперечного сечения не превысили допускаемого напряжения [𝜏]. Таким образом, не считаясь с неравномерностью в распределении напряжений по сечению, мы вели расчёт по допускаемым напряжениям.

В этом способе расчёта, так же как и при решении статически неопределимых систем, мы не используем полностью предельной грузоподъемности стержня. В предыдущих главах мы считали опасным то состояние стержня, при котором лишь в контурных точках сечения напряжения достигнут предела текучести материала (стали) при сдвиге τт (Рис.514, а). Величина τт по энергетической теории прочности должна быть равна 0,6σт. Крутящий момент при этом будет равен:

Mт=πr3τт2

а угол закручивания

φт=MтlGJp=πr3τтl2Gπr42=τтlGr

Рис.5.14

Для дальнейшего увеличения угла закручивания необходимо возрастание крутящего момента, так как материал внутри стержня находится ещё в упругом состоянии. При увеличении деформации рост напряжения у краёв сечения остановится (явление текучести), и при некотором M>Mт распределение напряжений будет соответствовать графику, изображённому на Рис.5.14, б. Внутри незаштрихованной окружности радиуса OB материал будет по-прежнему в упругом состоянии.

Предельным состоянием, соответствующим полному исчерпанию грузоподъёмности стержня, будет то распределение напряжений, когда упругая зона исчезнет, — по всему сечению напряжения будут равны пределу текучести τт (рис. 5.14, в).

Крутящий момент Mпр в этом случае можно вычислить, составляя сумму моментов всех внутренних сил относительно центра круга. Для этого разобьем площадь нашего сечения концентрическими кругами на бесконечно малые (кольцевые) площадки.

Напряжения, действующие на каждую такую площадку, в предельном состоянии имеют постоянное значение и равны τт (рис.5.14, в). Внутренние усилия, приложенные к элементарной площадке радиуса ρ, будут равны (Рис.5.15) τтdF , а момент внутреннего усилия τтdFρ. Суммируя элементарные моменты внутренних сил по площади кольца, получим:

dMвн=τтρ∑dF=τтρ2πρdρ.

Рис.5.15

Составляя теперь условие равновесия внешних и внутренних моментов, найдём:

∑M0=0; Mпр-0r2πτтρ2dρ=0

Отсюда

Mпр=23πr3τт (5.17)

Допускаемый крутящий момент при коэффициенте запаса k будет равен:

Mк=Mпрk=2π3r3τтk=2π3r3τ (5.18)

Откуда

r≥33Mк2πτ

в то же время по обычному расчёту мы имеем:

r≥32Mкπτ

В результате переход к расчёту по допускаемым нагрузкам позволяет уменьшить диаметр вала в отношении

332*2 =0,91.

Таким образом, вследствие неравномерного распределения напряжений по сечению при упругом состоянии стержня, переход к методу расчёта по допускаемым нагрузкам может дать экономию материала.

Надо, однако, помнить, что приведённый расчёт мог бы иметь силу лишь при статической нагрузке, когда опасным состоянием является состояние текучести материала. Скручиваемые же стержни, валы, в подавляющем большинстве случаев работают на переменную нагрузку в условиях, когда проверка прочности должна производиться из расчета на возможность появления трещин усталости. Поэтому применение изложенного способа к валам, по-видимому, в большинстве случаев невозможно. Иначе будет обстоять дело, как увидим дальше, при расчётах балок на изгиб.

Приведённый результат интересен потому, что даёт возможность проверить его на опыте. Опыты показали, что величина напряжения τт, получаемого из формулы (5.17), по предельному моменту, определённому экспериментально, достаточно близка к 0,6 σт, что и следует ожидать на основании энергетической теории прочности.