Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Рязанский государственный радиотехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

производные и их приложения.docx

Скачиваний:

Добавлен:

05.05.2019

Размер:

7.99 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 82 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Механический, физический и геометрический смысл производной

В задаче 1 про скорость прямолинейного движения было получено, что . Это равенство можно записать в виде , то есть скорость прямолинейного движения материальной точки в момент времени есть производная от пути по времени . В этом заключается механический смысл производной.

Физический смысл производной состоит в следующем. Если функция описывает какой-либо физический процесс, то производная есть скорость протекания этого процесса.

Рассмотрим также геометрический смысл производной. В задаче о касательной к кривой был найден угловой коэффициент касательной . Это равенство можно записать в виде , то есть производная в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке, абсцисса которой равна . В этом заключается геометрический смысл производной.

Если точка касания имеет координаты , то угловой коэффициент касательной есть . Например, если касательная к некоторой кривой имеет вид , то производная в точке касания равна 2.

Пользуясь уравнением прямой, проходящей через заданную точку в заданном направлении , можно записать уравнение касательной к графику функции в точке касания :

, где .

Прямая, перпендикулярная касательной в точке касания, называется нормалью к кривой. Так как нормаль перпендикулярна касательной, то её угловой коэффициент равен: . Поэтому уравнение нормали имеет вид:

, если

Вопрос. Уравнение касательной к графику некоторой функции в точке имеет вид . Найдите значение производной этой функции в точке .

Начало формы

Основные правила дифференцирования

Производные константы и произведения константы на функцию.

Теорема. Производная константы равна нулю. То есть, если , где константа, то .

Доказательство. Если , то . Следовательно, .

Теорема. Константу можно выносить за знак производной.

То есть, если , то .

Производная суммы, разности, произведения и частного двух функций.

Теорема. Если функции и дифференцируемы в точке , то сумма, разность, произведение и частное этих функций (частное при условии, что ) также дифференцируемы в этой точке и имеют место следующие формулы:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

Пример. Вычислить производную функции .

Производная функции равна , производная константы равна нулю, производная суммы функций равна сумме их производных, следовательно:

Вопрос. Производная функции равна:

Начало формы

Таблица производных элементарных функций

Используя определение, можно найти производные основных элементарных функций, таблица которых представлена ниже:

1. .

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

Таблица производных вместе с правилами дифференцирования суммы, разности, произведения, частного, а

также правилом дифференцирования сложной функции составляет основу дифференциального исчисления. Надо отметить также, что производная любой элементарной функции также является элементарной функцией.

Пример. Вычислить производную функции . Решение.

Пользуясь правилами дифференцирования суммы, произведения, константы и константы, умноженной на функцию, получаем:

Вопрос. Производная функции равна:

Начало формы

Конец формы

Производная сложной функции

Пусть дана сложная функция , то есть такая, что ее можно представить в виде: , при этом . Переменную также называют промежуточным аргументом. Следующая теорема определяет правило дифференцирования сложной функции.

Теорема. Если функция имеет в некоторой точке производную ,а функция имеет при соответствующем значении производную , то сложная функция в указанной точке имеет производную, которая равна , где вместо должно быть подставлено выражение .

Коротко это правило записывается так: , то есть производная сложной функции равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по .

На практике чаще всего приходится находить производные от сложных функций. Поэтому ниже приводится таблица производных для сложных функций, в которой аргумент заменен на промежуточный аргумент .