2.2. Пример решения уравнений в системе matlab.

Численное интегрирование системы обыкновенных дифференциальных уравнений (1.3) при использовании системы Matlab осуществляется следующим образом: уравнения (1.3) записываются в виде отдельной функции (rlc.m), расположенной в основной (головной) программе ( Main.m) и затем с помощью встроенной процедуры осуществляется решение дифференциальных уравнений одним из численных методов ( например методом трапеций при использовании стандартной процедуры - ode23t ).

Пример основной программы Main.m

t0=0; - начальное время расчета

tf=0.1; - конечное время расчета

y0=[0 0]; - вектор начальных условий (U_C=0,i₀=0)

ts=[t0 tf]; - диапазон времени расчета от t0 до tf

[t,y]=ode23t('rlc',ts,y0); - решение системы уравнений (1.3)

subplot(211),plot(t,y(:,1),'red'),grid; - построение графика i(t)

title('Ток в контуре') - название графика

subplot(212),plot(t,y(:,2),'green'),grid; - построение графика U(t)

title('Напряжение на конденсаторе') - название графика

Пример подпрограммы-функции rlc.m

function yp=rlc(t,y)

r=100; l=1; c=1.e-6; - задание параметров схемы

e=1; %e=sin(314*t+3.1416/2) - включение постоянной э.д.с.

yp=[e/l-y(1)*r/l-y(2)/l; y(1)/c]; - реализация правых частей системы (1.3)

На рис. 1.3 и 1.4 приведены полученные в системе Matlab расчетные кривые изменения тока в схеме и напряжения на емкости при включении исследуемого контура на постоянную и переменную э.д.с.

Рис.1.3 Расчетные кривые при включении схемы на постоянную э.д.с.

Рис.1.4 Расчетные кривые при включении схемы на переменную э.д.с.

2. Инженерная методика оценки максимальных значений напряжений и токов в переходном процессе.

Часто исследователя интересует не форма кривой напряжения или тока, а лишь значения их максимальных величин в переходном процессе U_max и I_max. Выведем формулы для определения U_max и I_max с помощью простой инженерной методики.

Как известно [4], после затухания переходного процесса источник э.д.с. создает установившийся (вынужденный) режим. При переходе цепи от одного установившегося состояния к другому на установившиеся (вынужденные) составляющие напряжения и тока, которые наступили как бы сразу после коммутации, накладываются свободные (переходные) составляющие, которые существуют только в переходном процессе. Следовательно, напряжения и токи в линейных цепях в любой момент времени можно представить следующим образом:

(1.4)

Вынужденные составляющие тока и напряжения в контуре, приведенном на рис.1.1, при включении постоянной э.д.с. e(t)=E будут равны I_вын.=0, U_вын.=Е. При включении переменной э.д.с. вынужденные составляющие тока и напряжения будут синусоидальны и равны

(1.5)

где

, (1.6)

.

Переходный процесс обусловлен несоответствием значений токов и напряжений в контуре до и после коммутации. Электромагнитная энергия, затрачиваемая на переходный процесс, определяется разницей токов в индуктивности до и после коммутации . Электростатическая энергия, затрачиваемая на переходный процесс, определяется разницей напряжений на емкости до и после коммутации

. В процессе колебаний вся энергия, расходуемая на переходный процесс, W=W_ЭМ+W_ЭСт. может быть сосредоточена либо в индуктивности (при этом ток в индуктивности будем максимальным), либо в емкости ( при этом максимальным будет напряжение на емкости).

В соответствии с законом сохранения энергии максимальные амплитудные значения переходной составляющей напряжения на емкости U_пер и тока в индуктивности I_пер. определиться как

,

. (1.7)

где - характеристическое сопротивление контура.

Дифференциальные уравнения, описывающие процессы в контуре для переходных составляющих тока и напряжения, могут быть записаны аналогично уравнениям (1.3) при отсутствии э.д.с. и после преобразования иметь вид:

,

. (1.8)

Характер изменения переходных составляющих токов и напряжений зависит только от параметров контура R-L-C, иначе говоря, от вида корней характеристического уравнения

. (1.9)

В (1.9) приняты следующие обозначения: , .

Корни характеристического уравнения (1.9) определяются равенством

. (1.10)

Переходные составляющие тока и напряжения i_пер. и u_пер. будут иметь апериодический характер, в том случае, если корни характеристического уравнения действительные (при ), или колебательный характер, если корни мнимые (при ). Можно подобрать величину активного сопротивления в контуре таким образом, чтобы переходный процесс в нем имел колебательный характер. В этом случае изменения i_пер. и u_пер. представляются затухающими синусоидальными функциями с угловой частотой колебаний контура и коэффициентом затухания .

, , (1.11)

где

.

В соответствии с (1.4) напряжение на емкости и ток в любой момент времени переходного процесса при включении постоянной э.д.с. можно определить по выражениям:

,

, (1.12)

при включении переменной э.д.с.:

,

. (1.13)

Наибольшие в течение переходного процесса значения напряжений и токов в контуре совпадают по времени с максимумами i_пер. и u_пер . При этом максимум u_пер соответствует времени , максимум i_пер. – времени .

Введем следующие обозначения:

- ударный коэффициент перенапряжений,

- ударный коэффициент сверхтоков.

С учетом этих обозначений максимальные в переходном процессе напряжения и токи при включении постоянной э.д.с. можно найти по формулам:

. (1.14)

В контуре с переменной э.д.с. максимальные в переходном процессе напряжения и токи можно определить из следующих соображений:

• Если частота собственных колебаний контура много больше синхронной частоты ( ), можно считать, что вынужденные составляющие напряжения и тока практически не изменяются в течение всего переходного процесса и равны u_вын.(0) и i_вын.(0). При этом U_max и I_max равны

. (1.15)

• Если частота собственных колебаний контура сопоставима с синхронной частотой (1,5 3), максимально возможные U_max и I_max будут в случае совпадения максимумов вынужденных и переходных составляющих напряжений и токов. При этом U_max и I_max с запасом можно определить по выражениям (1.14), U_вын. и I_вын.в которых равны амплитудным значениям вынужденных составляющих напряжения и тока.

На рис. 1.5 в качестве иллюстрации приведены кривые изменения всех составляющих переходных процессов в контуре при включении постоянной (а) и переменной э.д.с. (б и в).

а )

б) в)

Рис. 1.5 Кривые, иллюстрирующие изменения всех составляющих переходных процессов в контуре при включении постоянной (а) и переменной э.д.с. (б и в).