Часть: Колебания и волны.
Процессы, повторяющиеся во времени называются колебаниями или колебательными процессами.
Тело или система, участвующие в колебательном процессе, называются колебательной системой или осциллятором.
Глава: Механические колебания.
Маятники.
Рассмотрим три механические колебательные системы, которые называются маятниками.
п.1 Пружинный маятник.
Пружинный маятник
представляет собой цилиндрическую
пружинку жесткостью
,
закрепленную одним концом. К другому
концу прикреплен грузик массой
.
Если оттянуть грузик и отпустить, то
начнутся колебания. Выберем ось
так, чтобы ее начало совпадало с положением
груза когда пружина не деформирована.
Будем считать пружину невесомой, а силу тяжести, действующую на грузик много меньшей силы упругости пружины. Запишем уравнение 2-го закона Ньютона для грузика.
,
.
Спроецируем на ось
,
,
,
где - деформация пружины и координата грузика
,
.
П.2 Математический маятник.
Математическим маятником называется материальная точка, подвешенная на нерастяжимой нити или невесомом подвесе.
Материальная точка
массой
подвешена на нити длиной
.
Пусть маятник движется, как показано
на рисунке.
Обозначим:
-
путь, пройденный материальной точкой,
отсчитанный от положения равновесия 0
вдоль траектории.
Запишем 2-й закон Ньютона
.
Спроецируем
уравнение на ось, совпадающую с
направлением мгновенной скорости
.
Выразим угол
через длину дуги
длину маятника
.
Запишем
Далее
,
,
.
Пусть выполняется условие малых отношений маятника:
,
,
.
Тогда получим уравнение:
.
П.3 Физический маятник.
Твердое тело
подвешено на горизонтальной оси
и может свободно вращаться относительно
нее. Точка
называется точкой подвеса.
Если наклонить тело от вертикали, то начнется колебательное движение.
Обозначим
-
центр масс. Проведем отрезок
и обозначим его длину
.
Проведем вертикаль через точку
.
Обозначим угол между вертикалью и
,
отсчитанный от вертикали
.
Масса тела равна
.
Рассмотрим основное уравнение динамики твердого тела для указанного положения маятника
.
Направление оси
вращения и вектора
указано на рисунке.
Здесь:
-
проекция момента силы
относительно точки
на ось вращения.
- момент инерции
относительно той же оси.
Запишем:
,
,
,
,
.
Рассмотрим малые колебания, удовлетворяющие условию
,
.
Тогда
.
Свободные колебания.
Колебания, возникающие в отсутствие переменных внешних воздействий на осциллятор, называются свободными.
Полученные выше уравнения можно записать в общем виде
,
где - величина, определяющая отклонение маятника от положения равновесия или смещение маятника,
- величина,
характеризующая систему.
Решение уравнения ищем в виде:
,
,
,
,
,
,
где
- мнимая единица.
Общее решение дифференциального уравнения имеет вид
.
Итак, получим решение в виде
,
где
,
- некоторые константы.
После дальнейших преобразований можно привести к виду
.
Здесь:
- смещение
осциллятора в момент
,
- амплитуда
колебаний,
,
-
круговая (циклическая) частота колебаний
или собственная (круговая) частота
системы,
,
- фаза колебаний,
,
- начальная фаза колебаний или фаза колебаний в начальный (нулевой) момент времени, .
Найдем модуль максимального смещения осциллятора.
.
Амплитуда колебаний численно равна модулю максимального смещения осциллятора от положения равновесия.
Для нахождения
амплитуды
и начальной фазы
необходимо знать начальные условия,
т.е. значение в момент
,
например,
и
.
,
,
,
.
Фазу колебаний будем обозначать:
.
Начальная фаза равна:
,
.
Функции в математике называются гармоническими. В дальнейшем будем использовать функцию, содержащую косинус.
Период и частота колебаний.
Возьмем приращение фазы колебаний
.
Пусть за отрезок
времени
приращение фазы оказалось равным
.
Обозначим
,
,
,
,
Отрезок времени, в течение которого приращение фазы колебаний составляет , называется периодом колебаний.
Величина
есть период свободных гармонических
колебаний.
Очевидно, что
.
Обозначим
- смещение в момент
.
Найдем смещение в момент
.
.
За время равное периоду колебаний система совершает одно колебание.
Величина, обратная периоду колебаний, называется частотой колебаний
,
.
Частота колебаний численно равна числу колебаний, совершаемых системой в единицу времени, т.е. в 1 секунду.
Запишем:
.
В заключение дадим в виде таблички основные характеристики рассмотренных маятников.
,
.
,
.
,
.
