1.2. Виды случайных событий

События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление другого. Совместные события – это такие события, при которых появление одного не исключает появление другого.

Несколько событий образуют полную группу, если в результате испытания появится хотя бы одно из них.

События называются равновозможными, если ни одно из них не является более возможным, чем другое.

1.3. Непосредственный подсчет вероятностей

Чтобы количественно сравнить между собой события по степени их возможности, нужно с каждым событием связать число, которое тем больше, чем больше возможное событие.

Такое число называется вероятностью события. Таким образом, вероятность события есть количественная мера степени объективной возможности появления этого события.

Вероятность достоверного события, т.е. такого события, которое при данных условиях обязательно произойдет, принимается равной единице.

Если положить вероятность невозможного события равной нулю, то, таким образом, вероятность любого случайного события будет изменяться в интервале от 0 до 1.

Существуют следующие способы подсчета вероятностей событий: классический способ, геометрический и статический.

Классическая формула определения вероятности случайного события:

,

г де n – число всех элементарных исходов опыта, m_А – число исходов, благоприятных событию А.

Эта формула применяема только в том случае, когда исходы опыта несовместны, равновозможны и образуют полную группу событий.

Геометрическое определение вероятности является частным случаем классического способа и применяется при бесконечно большом числе равновозможных исходов:

где R_D – размерность области всех возможных исходов,

R_d – размерность области исходов, благоприятных событию А.

Для неравновозможных исходов применяется статистическое определение вероятностей:

,

где n* - число всех проведенных опытов, m* - число опытов, в которых событие А появилось.

При подсчете вероятностей случайных событий по классической формуле применяется теория соединений и правило произведения.

Группы элементов, отличающиеся порядком или составом элементов, называются соединениями. Соединения бывают трех видов: размещения, перестановки и сочетания.

Р азмещениями из S элементов по К называются соединения, отличающиеся или порядком элементов, или хотя бы одним элементом. Размещения обозначаются (от французского “arrangement” - размещения) и вычисляются по формуле:

Пример:

Задача 1.1. Сколькими способами можно набрать шестизначный номер телефона, если помнить, то все цифры различны?

.

Перестановками из К элементов называются соединения, каждое из которых содержит К элементов и которые отличаются одно от другого только порядком расположения элементов (это ). Обозначаются перестановки Р_К (от французского слова “permutation” - перестановка) и вычисляется по формуле:

Задача 1.2. Сколькими способами можно разместить 3-х студентов за одной партой?

.

Сочетаниями из S элементов по К называются такие соединения, которые отличаются между собой хотя бы одним элементом. Обозначаются сочетания (от французского слова “combination”- комбинация) и вычисляются по формуле:

.

Задача 1.3. Сколькими способами можно выбрать трех делегатов на конференцию из группы, в которой 25 студентов?

.

Легко показать, что , т.е. .

Правило произведения заключается в следующем:

если элемент a₁ можно выбрать n₁ способами, после каждого выбора этого элемента следующий за ним элемент а₂ можно выбрать n₂ способами, …, после выбора элементов а₁ …, а_к-1 элемент а_к выбирается n_к способами, то последовательность k элементов (а₁, а₂, …, а_к) можно выбрать:

способами.

Задача 1.4. Сколькими способами можно составить команду игроков, состоящую из 1 вратаря, 2 защитников и 3 нападающих, если имеются 2 вратаря, 7 защитников и 9 нападающих?

.

При решении многих задач применяется также непосредственный подсчет способов отбора.

Задача 1.5. Сколькими способами можно составить набор из 2-х игральных костей, чтобы сумма очков на верхних гранях была равна 7?

І -я: 1 2 3 4 5 6

ІІ-я: 6 5 4 3 2 1

Задача 1.6. Имеется 7 слитков: 4 слитка изготовленны в 1-м цехе и 3 изготовлены во 2-м. Наугад берут 3 слитка. Какова вероятность того, что среди отобраных есть 2 слитка, изготовленные в 1-м цехе?

Ε – выбор 3-х слитков из 7,

А – появление двух слитков из 1-го цеха и 1 слитка из 2-го цеха.

Число исходов конечно. Они несовместимы, равновозможны и образуют полную группу. Применяем классическое определениие:

.

Задача 1.7. Заявка предприятия на оборудование может поступить в любое время суток. Найти вероятность того, что заявка поступит в первой половине дня (от 6 часов до 1 часов).

Ε – поступление заявки в любое время суток

А - поступление заявки от 6 до 12 часов.

Всех равновозможных исходов опыта (моментов поступления заявки) бесчисленное множество, поэтому применяем геометрическое определение вероятности:

.

Задача 1.8. Система состоит из 7 элементов. При проверке вышли из строя 2. Найти вероятность отказа элемента.

Ε – проверка элементов

А – выход элементов из строя.

Так как опыты были проведены (исходы неравновозможны), то применяем статистическое определение вероятности события А:

.