Тема 3. Дифференцирование функций План:

1. Понятие функциональной зависимости и способы ее представления

2. Предел функции

2.1. Числовая последовательность. Предел числовой последовательности

2.2. Предел функции в точке

3. Бесконечно малые функции и их свойства

4. Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми

5. Теоремы о действиях над пределами

6. Приращение функции и приращение аргумента

7. Понятие производной функции

8. Геометрический смысл производной

9. Механический смысл производной

10. Правила дифференцирования

11. Таблица производных элементарных функций

12. Производные высших порядков

13. Дифференциал функции

14. Применение дифференциального исчисления к исследованию функций

14.1. Возрастание и убывание функции

14.2. Экстремум функции

14.3. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке

14.4. Выпуклость, вогнутость функции

14.5. Точки перегиба функции

15. Задачи на нахождение наименьших и наибольших значений величин

§1. Понятие функциональной зависимости и способы ее представления

Пусть даны числовые множества и .

Определение Если каждому элементу x множества поставлен в соответствие один и только один элемент из множества Y, то говорят, что задано отображение множества и Y или задана функция с областного определения и множеством значений из Y и пишут .

x - аргумент

y - значение функции

Обозначают - область определения функции

- область значений функции

Определение Множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению называют графиком функции .

Существует несколько способов задания функции:

1. Аналитический способ, если функция задана формулой вида .

2. Табличный способ состоит в том, что функция задается таблицей, содержащей значения аргумента x и соответствующие значения функции .

3. Графический способ состоит в изображении графика функции.

4. Словесный способ, если функция описывается правилом ее составления.

§2. Предел функции

2.1. Числовая последовательность. Предел числовой последовательности

Определение Числовой последовательностью называется функция натурального аргумента.

Пример: , D(f)=N.

Обозначают: , где

n принимает значения 1, 2, 3, …, n.

n – номера членов числовой последовательности.

а₁,а₂,а₂,…,а_n - члены числовой последовательности.

Пример: ,

Геометрически числовую последовательность изображают точками числовой прямой или точками плоскости.

Заметим, что при увеличении n (n→∞), стремится к 0 . В этом случае говорят, что предел равен 0 и записывают: .

Определение Число А называется пределом числовой последовательности , если для любого существует номер N такой, что для всех n>N выполняется неравенство .

2.2. Предел функции в точке

Рассмотрим функцию y=x+1, D(f)=R.

Составим таблицу:

x	0,9	0,99	0,999	…	x→1
y	1,9	1,99	1,999	…	y→2

Говорят, что 2 – предел функции y=x+1 в точке 1 и записывают: .

Определение Число А называется пределом функции y=f(x) при x→a, если для любой последовательности аргумента сходящейся к a (x_n≠a), соответствующая последовательность значений функции f(x₁), f(x₂),…, f(x_n) сходится к А и записывают .

§3. Бесконечно малые функции и их свойства

Определение Функция y=f(x) называется бесконечно малой в точке a, если .

Свойства бесконечно малых функций

Пусть и - бесконечно малые в точке a, то есть и , тогда

1. ± - бесконечно малая в точке a.

2. x - бесконечно малая в точке a.

3. x - бесконечно малая в точке a, если ограничена в окрестности точки a.

§4. Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми

Определение Функция y=f(x) называется бесконечно большой в точке а, если .

Связь между функциями бесконечно малыми и бесконечно большими в точке устанавливается теоремой.

Теорема Если функция f(x) - бесконечна малая в точке а и f(x)≠0 вблизи точки а, то функция - бесконечно большая в точке а и обратно, если f(x)- бесконечно большая в точке а, то - бесконечна малая в точке а.

§5. Теоремы о действиях над пределами

Если , то

Теорема 1.

Теорема 2. .

Теорема 3. Если , то .

Следствие: , где .

Примеры вычисления пределов

1)

2)

3)

4)

рассмотрев уравнение по теореме Виета , имеем: x₁=-5 и

x₂=-3, следовательно,

5)

6)

7)

при

§6. Приращение аргумента и приращение функции

Пусть функция определена на некотором множестве X.

Возьмем производное точки и точки .

Определение Разность называется приращением аргумента.

Обозначают:

Определение Разность двух значений функции соответствующих значениям аргумента и называется приращением функции.

Обозначают: .

Чтобы найти приращение функции, нужно из наращенного значения функции вычесть первоначальное: