- •3. Основы квантовой статистики
- •3.1. Квантовый ансамбль микрочастиц
- •3.2. Фермионы и бозоны
- •3.3. Фазовое пространство. Плотность состояний
- •3.4. Распределение частиц по квантовым состояниям. Виды статистик
- •3.5. Применение статистики Ферми-Дирака к электронному газу в металлах
- •3.6. Приложение статистики Бозе-Эйнштейна к фотонному газу
Лекция 6
3. Основы квантовой статистики
Задачей квантовой статистики, которой посвящен данный раздел, является описание свойств системы (ансамбля) из большого числа микрочастиц, волновыми свойствами которых нельзя пренебречь. В этом случае микрочастицы, составляющие коллектив, представляют квантовые объекты, т.е. их поведение подчинено соотношениям и принципам квантовой (волновой) механики.
Это, в частности, означает, что свободные электроны, образующие в металли-ческих и полупроводниковых кристаллах электронный газ, по своим свойствам отличны от молекул идеального газа. Поэтому и законы статистического распределения этих частиц оказываются также различными: идеальный газ подчиняется статистике Максвелла-Больцмана, а электронный газ - квантовой статистике Ферми-Дирака. То же касается и описания колеблющихся атомов, образующих твердое тело. Система упругих волн смещений атомов из положения равновесия (газ фононов) также описывается квантовой статистикой Бозе-Эйнштейна, а не классической статистикой Максвелла-Больцмана.
3.1. Квантовый ансамбль микрочастиц
Статистическое описание квантовых ансамблей частиц принципиально отличается от классического по следующим причинам. Во-первых, энергия микрочастиц, находящихся в ограниченной области пространства, квантуется, т.е. принимает дискретный набор значений энергии. Во-вторых, в классической статистической физике волновыми свойствами частиц коллектива можно пренебречь, так как их длина волны де Бройля при обычных температурах оказывается меньше характерных пространственных параметров микрочастиц. Например, для атома водорода при комнатной температуре сравнима с его размерами и на несколько порядков меньше среднего расстояния между частицами. В случае квантовых объектов приходится описывать их поведение волновой функцией, определяющей "квантовое состояние" микрочастиц, обусловленное полным набором некоторых динамических параметров.
Если силовое, например, кулоновское взаимодействие между частицами коллектива настолько мало, что потенциальной энергией их взаимодействия можно пренебречь по сравнению с кинетической, то ансамбль будет представлять идеальный газ, в котором частицы можно считать квазисвободными, а их волновые функции - плоскими или сферическими волнами.
Важнейшим принципом, используемым при описании квантовых ансамблей, является принцип "тождественности", т.е. неразличимости одинаковых по природе (обладающих одинаковой массой, зарядом, спином) микрочастиц, входящих в состав ансамбля. Этот принцип, введенный американским физиком Дж. Гиббсом еще в 1903 г. в классической статистической механике, означает, в случае квантовых объектов, что обмен местами двух частиц, находящихся в состояниях, описываемых волновыми функциями i и j , не является "физическим событием", т.е. не изменяет состояние системы. Это означает, что если, например, после взаимодействия (столкновения) двух таких тождественных частиц мы обнаруживаем одну из них вблизи некоторой точки пространства, то не существует возможности указать, какая именно из них туда попала.
Поскольку поведение квантового объекта имеет вероятностный характер, т.е. динамические параметры (например, координаты) суть случайные величины, то в случае различимости двух событий А и В (принципиальной возможности указать, какое именно из них произошло в данном опыте), в которых данный параметр принимает значения ХА и ХВ с вероятностями WАи WВ, справедливы следующие утверждения:
если события А и В несовместимы, т.е. не могут наступить оба вместе, то вероятность того, что произойдет либо А, либо В (WА+B) равна сумме вероятностей отдельных событий: WА+B = WА + WВ (например, выпадение либо цифры "1", либо цифры "2" на верхней грани одного игрального кубика);
если события А и В статистически независимы, т.е. WА не зависит от того, произошло ли событие В, то вероятность того, что одновременно произойдут события и А, и В (WАB), равна произведению вероятностей этих независимых событий: WАB = WАWВ (например, одновременное выпадение цифры "1" на верхних гранях двух игральных кубиков).
Если (r)2 есть плотность вероятности обнаружения микрочастицы вблизи точки, положение которой характеризуется радиус-вектором r, то плотность вероятности обнаружения данной частицы либо вблизи r1, либо вблизи r2 равна (r1)2 + (r2)2, так как эти события одновременно несовместимы. То же относится и к случаю двух различных, т.е. нетождественных микрочастиц - плотность вероятности обнаружения вблизи точки r либо частицы "1", либо частицы "2" есть 1(r)2 + 2(r)2. В этом случае события взаимоисключены в том смысле, что вследствие различимости частиц мы можем точно указать, какая именно из них оказалась вблизи данной точки, т.е. конечные состояния различимы и определена их вероятность для каждой из частиц в отдельности. Таким образом, если несколько взаимоисключающих конечных состояний можно принципиально отличить, то полная вероятность данного события, например, попадание данной частицы в одну из точек с координатами 1, 2, …, n или попадание одной из n различных частиц в данную точку , есть сумма вероятностей, описывающих получение каждого из состояний: или , где в первом случае суммирование идет по числу точек пространства, а во втором - по числу частиц.
Применяя второе из приведенных выше положений теории вероятности к квантовому поведению микрочастиц, получаем, что если данная микрочастица участвует в нескольких независимых процессах, каждый из которых описывается волновой функцией i (например, электрон переходит от источника к атому кристаллической решетки (1), рассеивается на нем (2), попадает в данное место экрана (3)), то плотность вероятности, описывающая весь процесс, равна произведению плотностей вероятности для каждого из процессов, т.е. .
То же относится и к системе, состоящей из n невзаимодействующих частиц: плотность вероятности того, что частицы окажутся одновременно в определенном положении ( 1, 2, …, n), равна произведению плотностей вероятности для каждой из различных частиц оказаться в данном положении. Отсюда следует, что результирующая волновая функция (амплитуда вероятности), описывающая систему невзаимодействующих частиц, равна произведению волновых функций каждой из частиц системы, т.е. .
В случае же неразличимости альтернативных процессов, например, нескольких возможных путей данного, т.е. зарегистрированного на экране электрона после его рассеяния на одном из атомов кристаллической решетки (на каком именно мы принципиально не можем указать), или при попадании в данную точку (в малый объем (dVo, вблизи точки r) одной из двух тождественных частиц ситуация принципиально иная. В этом случае, согласно одному из основных принципов квантовой механики, необходимо рассматривать интерференцию волновых функций, т.е. результирующая волновая функция (рез), определяющая вероятность обнаружения микрочастицы вблизи данной точки, есть сумма волновых функций (i), описывающих неразличимые процессы, рассматриваемые порознь: рез = . Поскольку этот вопрос очень важен для понимания дальнейшего материала, остановимся на нем подробнее.
Из рассмотренного в лекции 5 опыта по дифракции микрочастицы на отверстии (рис. 2.2) следует, что при переходе от отверстия к экрану она ведет себя как плоская волна, так как описание ее поведения возможно в рамках метода зон Френеля, заложенного в условии минимума интерференции. Таким образом, описывая поведение, например, электрона -функцией, формально обладающей свойствами классических волн, и не зная, в каком месте отверстия он мог пройти перед тем, как попасть на экран, мы фактически складываем в данном месте экрана волны де Бройля (волновые функции), приходящие от каждого "точечного" (по аналогии с принципом Гюйгенса) источника, в плоскости отверстия. Другими словами, если существует ряд альтернативных не- различимых вариантов попадания электрона в данное место экрана из различных точек отверстия, то результирующая волновая функция, описывающая поведение электрона на экране, есть сумма волновых функций, определяющих вероятности его попадания туда от всех точек экрана.
В этом примере рассматривались неразличимые возможные пути достижения данного состояния (например, значений координат) одной частицей. Теперь рассмотрим ансамбль, состоящий из n частиц, силовое взаимодействие между которыми мало (идеальный газ), и будем наблюдать частоту появления вблизи данной точки с координатой r одной из них. В случае различимости микрочастиц, как уже отмечалось, плотность вероятности обнаружения вблизи r какой-либо из них равна сумме плотностей вероятности обнаружения каждой, т.е. , , где описывает состояние, когда в данную точку попадает i-я частица.
В системе из n тождественных частиц перестановка местами любой пары частиц (означающая обмен состояниями, т.е. волновыми функциями) приводит к двум тождественным состояниям ансамбля, и, следовательно, представляет два неразличимых пути достижения данного состояния. В этом случае, согласно сказанному выше, волновая функция (r), описывающая вероятность обнаружения в данной точке любой из частиц, есть сумма волновых функций, описывающих состояния, в которых вблизи данной точки находится одна из них (в dVo вблизи ), т.е. (r, ri)= , где ri - координата i-й частицы, переставляемой с частицей, находящейся в точке .
Поскольку при перестановке тождественных частиц состояние системы не меняется, т.е. в двух состояниях, соответствующих обмену местами двух частиц, энергия системы одна и та же, то имеет место вырождение (т.е. ситуация, когда различным квантовым состояниям соответствует одно и то же значение энергии) нового типа. Гейзенберг назвал его "обменным" вырождением состояния. Это вырождение не может быть снято внешним воздействием, как это наблюдается, например, в атоме водорода (cм. лекцию 5) в присутствии внешних полей, именно вследствие тождественности этих состояний.