Тема 5.1 Производная функции.
№1.Найти производную функций:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
д)
;
е)
;
ж)
;
з)
.
№2.Напишите
уравнение касательной к графику функции
в точке
.
№3.Составить
уравнение касательной к кривой
,которая проходит параллельно прямой
.
№4.Скорость
точки, которая движется прямолинейно,
задана уравнением
.
В какой момент времени ускорение точки
будет равно 2м/с2?
№5.Точка
движется по координатной прямой по
закону
.
В какой момент времени скорость точки
будет равна 19? (
-
координата точки в момент времени
).
№6.Вращение
тела вокруг оси происходит по закону
.
Найти, в какой момент времени тело
остановится (t- время в
секундах,
-
угол поворота в радианах)
№7.
По прямой движутся две материальные
точки по законам
и
.
В какой момент времени их скорости будут
равны?
Тема 5.2. Исследование функций с помощью производной.
№1.Проведите
полное исследование функции
по данной схеме и постройте его график.
Схема исследования функции для построения ее графика:
1.Найти область определения функции.
2.Выяснить, является ли функция четной и нечетной (или периодической)
3.Точки пересечения графика с осями координат (если их можно найти).
4.Производная и критические точки функции.
5.промежутки возрастания и убывания, точки экстремума и значения функции в этих точках.
6.Поведение функции на концах промежутков области определения и асимптоты графика функции (вертикальные, горизонтальные и наклонные).
7.Вторая производная и исследование функции на выпуклость и точки перегиба (и значения функции в этих точках)
8.Найти координаты дополнительных точек графика функции (если нужно уточнить его поведение).
9. На основании полученного исследования построить график функции.
№2.Разбейте число 18 на два положительных слагаемых так, чтобы сумма удвоенного первого слагаемого и квадрата второго слагаемого была наименьшей.
№3.Площадь прямоугольника равна 25 см2. Найдите наименьший возможный периметр этого прямоугольника.
№4.Периметр равнобедренного треугольника равен 60 см. При каком значении высоты, проведенной к основанию треугольника, площадь треугольника наибольшая?
№5. На странице текст занимает 384 см2. Верхнее и нижнее поля должны быть по 2 см, правое и левое – по 3 см. Какими должны быть размеры страницы с точки зрения экономии бумаги?
Тема 6.1 Неопределенный интеграл; решение задач.
№1. Найдите неопределенный интеграл:
а)
;
б)
; в)
;
г)
;
тд)
;
е)
;
ж)
;
з)
;
и)
;
к)
;
л)
;
м)
;
н)
;
о)
Тема 6.2. Определенный интеграл.
№1.Подготовить реферат на одну из тем:
1)Первообразная функция и неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла.
2)Интеграл и его применение.
3)Общее понятие определенного интеграла, его геометрический и механический смысл.
4)Применение определенного интеграла к решению физических задач.
5) Применение определенного интеграла к вычислению площадей плоских фигур.
6) Применение определенного интеграла к вычислению объемов.
7)Свойства определенного интеграла.
8)Методы интегрирования.
9)Интегральное исчисление. Исторический очерк.
10)Лейбниц Готфрид Вильгельм.
№2.Вычислить интеграл:
а)
;
б)
;
№3.Дана
функция
.
Вычислить: а)
;
б)
.
№4.
Вычислите площадь фигуры, ограниченной
линиями
и
№5.
Вычислите площадь фигуры, ограниченной
графиком функции
,
касательной к этой параболе в ее вершине
и прямой
.
№6.Найдите объем тела, полученного вращением вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями:
а)
,
,
,
;
б)
,
,
,
;
№7. Найдите объем тела, полученного вращением вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями:
а)
,
;
б)
,
,
,
,
;
№8.Скорость
движения точки меняется по закону
,
где
-
скорость, м/с; t- время,
с. Найдите:
а) путь пройденный точкой за первые три секунды движения;
б) путь, пройденный точкой за третью секунду;
в) путь, пройденный точкой от начала движения t=0 до ее остановки.
№9. Вычислить работу, которую надо затратить, чтобы растянуть
пружину, находящуюся в положении равновесия, на 10 см. Известно, что при
растяжении пружины на 1 см сила натяжения равна 5 Н.
№10.Дан
прямоугольный неоднородный стержень,
плотность в точке
определяется по формуле
.
Найдите массу
стержня длиной
.