Дифференцирование изображения. Если f ( n )  f ( z ), то

. ( 5.13 )

Сформулированные свойства Z-преобразования и отражающие эти свойства формулы (5.8) – (5.13) послужили основой для нахождения Z-изображений типовых решетчатых функций (см. пример 5.2). Эти избражения, как и оригиналы, представлены ниже в таб­лице. В таблице функцией f ( n ) = 1 обозначена дискретная функция Хевисайда, совпадающая с единичной последовательностью ( n = 0,1,2, ... ).

Z-изображения типовых оригиналов

(Решетчатых функций)

	f ( n )	F ( z )
1 1	1
2 2
3 3	(A>0)
4 4
5 5
6 6
7 7
8 8	n
9 9
1 10
1 11
1 12
1 13
1 14	(A>0)
1 15	(A>0)

2. Операционный подход к решению линейного рекуррентного уравнения с постоянными коэффициентами

Формулировка задачи. Пусть имеется линейное неоднородное рекур­рентное уравнение с постоянными коэффициентами

( 5.14 )

и известно Z–изображение G ( Z ) = Z { g ( n ) }, т.е. правая часть g ( n ) уравнения является оригиналом.

Требуется найти решение , удовлетворяющее заданным начальным условиям f ( i ) ( i = 0,1, ..., k–1).

Изображающее (операторное) уравнение - алгебраическое уравнение, получающееся в результате замены оригиналов в исходном рекуррентном уравнении их Z-изображениями. Формально операторное уравнение можно записать следующим образом

F ( z )∙R ( z ) = G ( z ) + z∙D ( z ), ( 5.15 )

где

F ( z ) = Z { f ( n ) };

D ( z ) – полином степени не выше k–1;

R ( z ) – харак­теристический многочлен рекуррентного уравнения

. ( 5.16 )

Замечание. В частном случае, когда уравнение (5.14) является однородным и, как следствие, G (z) = 0, изображающее уравнение принимает более прос­той вид

F ( z ) ∙ R ( z ) = z ∙ D ( z ).

Порядок и правила нахождения решения линейного неоднородного ре­куррентного уравнения с постоянными коэффициентами:

1. Построение изображающего уравнения (5.15) . Для этого полагаем F (z) = Z { f (n) } и, используя формулу опережения оригинала ( 5.10 ), записы­ваем группу Z-изображений

( 5.17 )

Подставляя (5.17) и известное изображение G (z) в исходное уравне­ние (5.14) и выполняя простейшие преобразования, определяем неизвест­ный многочлен D (z) и записываем требуемое изображающее уравнение.

2. Получение аналитического вида Z-изображения искомого решения. Для этого выразим F (z) из (5.15)

( 5.18 )

и преобразуем его путем приведения слагаемых в правой части к общему знаменателю.

Так как G (z) является дробно-рациональной функцией, т.е. отноше­нием двух полиномов

,

причем числитель не содер­жит свободного члена и его степень не превышает степени знаменателя , то в результате преобразований правая часть (5.18) будет иметь вид рациональ­ной дроби

( 5.19 )

в которой, очевидно, степень полинома B (z) меньше степени полинома A (z), т.е. функция F (z) / z = B (z) / A (z) - правильная дробь.

3. Восстановление оригинала по изображению F (z). Выполнение дан­ного этапа можно осуществлять различными способами. Один из таких спо­собов предполагает реализацию двух операций:

1. разложение дробно-рациональной функции B (z) / A (z) на сумму

элементарных дробей ( j = 1,2, ..., J ), в результате чего первое равенство в (5.19) будет иметь вид суммы

( 5.20 )

Правила разложения дробно-рациональных функций на сумму элементарных дробей изучены в рамках интегрального исчисления (при рассмотрении метода интегрирования рациональных выражений) и непрерывного (интегрального) преобразования Лапласа (при рассмотрении способов восстановления оригинала по его L - изображению);

2) определение обратного Z-преобразования для каждого слагаемого в (5.20), т.е. реализация операций , в результате чего получим конечный вид искомой последовательности (оригинала)

Для получения оригиналов отдельных слагаемых в (5.20) обычно вполне достаточно приведенной ранее таблицы изображений. В случае необ­ходимости можно воспользоваться более обширными таблицами Z-преобразований [6,8]. Решению рекуррентных уравнений с заданными начальными условиями с помощью операционного подхода посвящен пример 5.3.