96

Глава 5. Производящие функции и z-преобразование

5.1 . Производящая функция последовательности. Связь с рекуррентным уравнением

Важную роль в задачах исследования дискретных объектов играют производящие функции числовых последовательностей. Они, в частности, находят применение как при построении, так и при нахождении аналитических ре­шений (формул общих членов последовательностей) рекуррентных уравнений, описывающих динамику дискретных (импуль­сных ) систем.

Производящая функция (в традиционном, классическом понимании) бесконечной числовой последовательности f ( n ) ( n = 0,1,2,...) – это аналитическая в интервале | x | < R функция f ( x ), определяемая степенным рядом ( рядом Маклорена )

( 5.1 )

в окрестности нулевой точки x = 0 , являющейся правильной (регулярной) точкой функции f (x ).

Так, например:

1. из известной формулы для бесконечно убывающей геометрической

прогрессии

следует - функция

при | x | < 1

является производящей функ­цией для единичной числовой последовательности

f (n) = 1 (n = 0,1,2, ... );

2) если принять, что при n < k, то выражение (3.9) для бинома Ньютона при y = 1 можно записать в виде бесконечной суммы

т.е. функцию можно назвать производящей функцией для беско­нечной последовательности числа сочетаний ( k = 0,1,2,... );

3) Если воспользоваться известным разложением в степенной ряд (ряд Ньютона )

то функция - производящая функция для следующей бесконечной последовательности числа сочетаний (k = 0,1,2, ...).

Определение производящей функции числовой последовательности, удовлетворя­ющей линейному однородному рекуррентному уравнению с постоянными коэф­фициентами

и заданным начальным условиям f ( i ) (i = 0,1, ... , k–1).

Из литературы известно [1,2] (да это и самим несложно показать), что искомая производящая функция f ( x ) числовой последователь­ности f ( n ) в данном случае будет являться дробно-рациональной функцией (правильной рациональной дробью )

, ( 5.2 )

в которой числитель и знаменатель – полиномы

( 5.3 )

причем коэффициенты полинома A ( x ) в (5.3) можно записать сразу, так как они совпадают с коэффициентами рекуррентного уравнения, а для коэффициентов полинома B ( x ) будет справедлива следующая система равенств

( 5.4 )

Таким образом, определение искомой производящей функции f ( x ) – рациональной дроби (5.2) не представляет труда и фактически сводится к вычислению неизвестных ко­эффициентов полинома в знаменателе с помощью простой системы равенств (5.4).

Восстановление числовой последовательности по производящей функции (см. пример 5.1). Реше­ние данной задачи можно осуществить посредством разложения имеющейся дробно-рациональной произво­дящей функции f ( x ) в степенной ряд Маклорена (5.1). Если такое разложение получено (коэффициенты разложения, как известно, равны значениям производных рациональной дроби в точке х = 0 ), то любой элемент f ( n ) искомой последовательности есть не что иное, как коэффициент степенного ряда (5.1) при .

2. Z - преобразование последовательности.