Двойственная задача.

Двойственная задача (ДЗ) – это вспомогательная задача линейного программирования, формулируемая с помощью определённых правил непосредственно из условий прямой задачи. Заинтересованность в определении оптимального решения прямой задачи путём решения двойственной к ней задачи обусловлена тем, что вычисления при решении ДЗ могут оказаться менее сложными, чем при ПЗ. Трудоёмкость вычислений при решении ЗЛП в большей степени зависит от числа ограничений, а не от количества переменных. Для перехода к ДЗ необходимо, чтобы прямая задача была записана в стандартной канонической форме. При представлении ПЗ в стандартной форме в состав переменных включаются также избыточные и остаточные переменные.

Двойственная задача имеет:

1. m переменных, соответствующих числу ограничений прямой задачи; (Каждому ограничению ПЗ соответствует переменная ДЗ);

2. n ограничений, соответствующих числу переменных прямой задачи(Каждой переменной ПЗ соответствует ограничение ДЗ);

3. Коэффициенты при в ограничениях ПЗ становятся коэффициентами левой части соответствующего ограничения ДЗ;

4. Коэффициенты при в целевой функции ПЗ становятся постоянными правой части ограничения ДЗ;

5. Постоянные ограничений ПЗ становятся коэффициентами целевой функции ДЗ.

6. Неравенства в системах ограничений имеют противоположный смысл(знаки неравенств меняются на противоположные);

7. Целевые функции в задачах имеют противоположный смысл: в первой –max, во второй – min.

Рассмотрим пример составления двойственной задачи:

Прямая задача

Двойственная задача

Рассмотрим пример составления ДЗ.

Прямая ЗЛП

ЦФ F(x)=x1+4x2+3x3+2x4 max

О граничения

-x1+3x2+2x3=6

3x2+2x4<=3

2x2-x3>=4

2x1-3x3+2x4<=8

Обратная(ДЗ) ЗЛП

ЦФ T(y)=6y1+3y2+4y3+8y4 min

О граничения

-y1+2y4=1

3y1+3y2+2y3>=4

2y1-y3-3y4<=3

2y2+2y4>=2

Дана следующая задача линейного программирования (ЗЛП).

,

Для решения используем ранее приведённый алгоритм.

1. Переход от неравенств к равенствам по правилам введения дополнительных переменных. Исходную задачу необходимо привести к стандартной форме: введем замену по переменной , и дополнительные переменные:

,

Полученный вид ЗЛП не позволяет сформировать начальный допустимый базис, т. к. нельзя выделить единичные орты во втором и третьем равенствах. Для получения начального допустимого базиса введём искусственные переменные. В результате получим:

,

2. Общее число переменных определим по формуле: N=2+3+2=7, где - число искусственных переменных. Число базисных переменных определяется числом ограничений, т. к. , то система имеет три базисные переменные и небазисные переменные .

3. Получение - строки для СТ (0). Приведём целевую функцию к виду

.

Выразим R₁ и R₂

,

Подставим

4. Формирование симплекс – таблицы на первом шаге:

СТ (0)

									свободные члены
	1	-1-4M	3+3M	-3M-3	M	0	0	0	-12M
	0	1	2	-2	0	1	0	0	4
	0	3	-4	4	0	0	1	0	12
	0	1	1	-1	-1	0	0	1	0

5. Определение разрешающего столбца.

При решении задачи максимизации выбираем в - строке максимально отрицательный коэффициент: - включаемая переменная.

6. Определение разрешающей строки: – исключаемая переменная.

7. Разрешающий элемент РЭ = 1.

8. Получение матрицы перехода

, где В(0) - матрица перехода

9. Определение элементов таблицы СТ(1) = В(0) СТ(0);

10. Исследование z-строки СТ(1) на условие оптимальности:

С Т(1)

	z								свободные члены
z	1	0	4+7M	-7M-4	-3M-1	0	0	1+4M	-12M
	0	0	1	-1	1	1	0	-1	4
	0	0	-7	7	3	0	1	-3	12
	0	1	1	-1	-1	0	0	1	0

СТ(2)

	z								Свободные члены
z	1	0	0	0	5/7	0	M+4/7	M-5/7	48/7
	0	0	0	0	10/7	1	1/7	-10/7	40/7
	0	0	-1	1	3/7	0	1/7	-3/7	12/7
	0	1	0	0	-4/7	0	1/7	4/7	12/7

СТ(2) – оптимальная, т. к. коэффициенты в z строке .

, , .

Двойственная задача.

Составим двойственную задачу по условиям прямой задачи и определим области допустимых решений :

Прямая задача

Двойственная задача

(А)

(В)

Итак, получено: , , .

Приведём запись двойственной задачи к канонической форме. На основании полученных ОДР двойственных переменных введём необходимые подстановки: .

Для удобства решения свернём ограничения (А) и (В) в одно со знаком равенства, а также введем в ограничения и целевую функцию избыточные, остаточные и искусственные переменные.

Решим ДЗ симплекс методом:

выразим

выразим:

С Т(0)

	W								свободные члены
W	1	-4-M	7M-12	12-7M	0	-M	0	0	4M
	0	1	3	-3	-1	-1	1	0	1
	0	-2	4	-4	1	0	0	1	3

СТ(1)

	W								Свободные члены
W	1	-10/3M	0	0	7/3M-4	4/3M-4	-7/3M+4	0	5/3M+4
	0	1/3	1	-1	-1/3	-1/3	1/3	0	1/3
	0	-10/3	0	0	7/3	4/3	-4/3	1	5/3

СТ(2)

	W								свободные члены
W	1	-40/7	0	0	0	-12/7	-7/3M+4	-M+12/7	48/7
	0	-1/7	1	-1	0	-1/7	1/3	1/7	4/7
	0	-10/7	0	0	1	4/7	-4/3	-3/7	5/7

СТ(2) – оптимальная, т. к. коэффициенты в z строке <=0

, ,