Общий вид задачи линейного программирования

Задача оптимального планирования является самой важной из задач линейного программирования. Если сформулировать задачу линейного программирования без экономической интерпретации, то она такова: найти экстремум линейной функции при линейных же ограничениях на переменные. При этом множество значений переменных, удовлетворяющих всем ограничениям задачи, называется допустимым множеством. Допустимое множество представляет собой некоторое многогранное тело в линейном числовом пространстве размерности, равной числу переменных задачи. Линейная же функция, экстремум которой ищется, называется целевой функцией. Задачу линейного программирования можно сформулировать так . Найти max

при условии :

a₁₁ x₁ + a₁₂ x₂ + . . . + a_1n x_{n } b₁ ;

a₂₁ x₁ + a₂₂ x₂ + . . . + a_2n x_{n } b₂ ;

_{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .}

a_m1 x₁ + a_m2 x₂ + . . . + a_mn x_{n } b_m ;

x₁  0, x₂  0, _{. . .} , x_n  0 _.

Эти ограничения называются условиями неотрицательности. Или в матричном виде

(1)

(2)

(3)

(4)

, (5)

При этом система линейных уравнений(3) и неравенств(2),(4),(5), определяющая допустимое множество решений задачи, называется системой ограничений задачи линейного программирования, а линейная функция Z называется целевой функцией или критерием оптимальности. В задачах линейного программирования целевая функция линейна, а условия-ограничения содержат линейные равенства и линейные неравенства. Если все ограничения имеют вид неравенств, то задача записана в стандартной форме. Если все ее ограничения, кроме

представляют собой равенства, то задача линейного программирования записана в канонической форме. Любую задачу линейного программирования можно свести к задаче линейного программирования в канонической форме.

Правило приведения задачи линейного программирования к канонической форме состоит в следующем:

1. Правые части всех ограничений должны быть неотрицательными . Если какой-нибудь из коэффициентов < 0, то необходимо коэффициенты ограничения слева и справа домножить на "-1" и изменить знак данного ограничения на противоположный;

2. Все ограничения должны быть представлены в виде равенств, поэтому при переходе от неравенства к равенству используют аппарат дополнительных переменных.

Если исходные ограничения определяют расход некоторого ресурса (знак " "), то переменные следует интерпретировать как остаток, или неиспользованную часть ресурса. В этом случае – остаточная переменная и вводится в уравнение со знаком "+".

Если исходные ограничения определяют избыток некоторого ресурса (знак " "), то вводится избыточная переменная знаком "-".

3. Все переменные должны быть неотрицательными, т.е. .

Если переменная не имеет ограничения в знаке, то её нужно представить как разность двух неотрицательных переменных: , где . Такую подстановку следует использовать во всех ограничениях, содержащих эту переменную, а также в выражении для целевой функции.

Если такая переменная попадает в оптимальное решение, то

.

4. Целевая функция: Подлежит максимизации или минимизации.

Max f(x)= min (-f(x))

Система ограничений в виде равенств и неравенств образует выпуклое множество - выпуклый многогранник. Это множество может быть ограниченным и неограниченным. Целевая функция задачи линейного программирования также является выпуклой функцией. Таким образом, задача линейного программирования является частным случаем задачи выпуклого программирования.

Для решения задач линейного программирования применяются методы:

1) графический;

2) табличный ( прямой, простой ) симплекс - метод;

3) метод искусственного базиса;

4) модифицированный симплекс - метод;