- •Рабочая тетрадь По дискретной математике
- •Содержание
- •Раздел 1. Основы теории множеств
- •Раздел 2. Формулы логики
- •Тема 2.1. Основные логические операции. Формулы логики. Таблица истинности. Законы логики
- •Тема 2.2. Днф и кнф. Закон двойственности. Проблема разрешимости
- •Раздел 3. Булевы функции
- •Тема 3.1. Понятие булевой функции. Приложение алгебры Буля. Релейно –контактные схемы
- •Тема 3.2. Совершенные нормальные формы. Минимизация булевых функций в классе днф
- •Тема 3.3. Операция двоичного сложения. Полином Жегалкина
- •Тема 3.4 Полнота множества булевых функций
Тема 3.3. Операция двоичного сложения. Полином Жегалкина
Построить таблицу истинности для формулы
Решение:
Расставим порядок действий и , используя правила выполнения операций штрих Шеффера и стрелка Пирса, заполним таблицу истинности:
x |
y |
z |
1 |
2 |
3 |
4 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
1 |
1 |
0 |
|
|
|
|
1 |
0 |
1 |
|
|
|
|
0 |
1 |
1 |
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
Для формулы составить ДНФ и КНФ.
Решение:
При переходе к основным операциям воспользуемся равносильностями, выражающими Штрих Шеффера и стрелку Пирса через дизъюнкцию и конъюнкцию:
Преобразуем формулу:
….
ДНФ …
КНФ ….
Методом неопределенных коэффициентов разложить функции в полином: а)f(x,y)= (0101); б) f(x,y)=(1011); в) f(x,y,z)= (01001110); г) f(x,y,z) = (11000101).
Решение:
Составим полином в общем виде, который для функции двух переменных имеет вид:
,
для функции трех переменных имеет вид:
Сначала составим таблицу истинности, причем соблюдаем соответствие набора его номеру в таблице истинности. Далее против каждой строки составляем уравнение вида
.
Решая уравнение, находим вектор коэффициентов, затем составляем полином:
а)f(x,y)= (0101)
Уравнения:
х |
у |
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вектор коэффициентов:
б) f(x,y)=(1011)
Уравнения:
х |
у |
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вектор коэффициентов:
в) f(x,y,z)= (01001110)
Уравнения:
x |
y |
z |
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вектор коэффициентов…
г) f(x,y,z) = (11000101)
Уравнения:
x |
y |
z |
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вектор коэффициентов…
4. Путем равносильных преобразований построить полиномы для формул:
а) ху;
б) (х|y)z;
в) (xy)(yz);
г) ((xy)v )|x.
Решение:
Для построения полиномов воспользуемся алгоритмом. Перечислим его пункты:
1) Преобразовать формулу так, что бы остались операции ………………, ……………..
2) Снять отрицания, используя равносильность ….
3) Раскрыть скобки, используя равносильность
а) ху …
б) (х|y)z …
в) (xy)(yz) …
г) ((xy)v )|x …