3.3. Электромагнитный момент асинхронного двигателя

Приведенные выше уравнения (3.7) – (3.15) описания процессов в АД недостаточны для получения его полной математической модели, так как они не касаются происходящего в нем процесса преобразования электрической энергии в механическую. Главной величиной, характеризующей этот процесс, является электромагнитный момент М, который возникает как результат взаимодействия токов в витках обмоток асинхронного двигателя и магнитного поля, в котором они находятся.

Электромагнитный момент может быть представлен в виде векторного произведения тока и потокосцепления:

, (3.16)

где – мгновенные значения обобщенных пространственных векторов токов и потокосцеплений; K_ф – коэффициент, зависящий от количества фаз статора.

При использовании описания электромагнитных процессов в пространственных векторах, возможно, представить электромагнитный момент двигателя через проекции пространственных векторов токов и потокосцеплений в соответствующей системе координат. Во многих случаях для моделирования и проектирования систем управления АД необходимо использовать другие пары переменных. В общем случае электромагнитный момент асинхронного двигателя может быть рассчитан как векторное произведение следующих пар векторов – (i_s, i_r), (_s, _r), (i_s, _s), (i_s, _r), (i_r, _s), (i_r, _r). Часто при анализе процессов в асинхронном двигателе вводится потокосцепление взаимоиндукции _m = L_m(i_s + i_r). В этом случае появляется еще две возможности представления электромагнитного момента асинхронного двигателя через следующие пары – (i_s, _m), (i_r, _m). Электромагнитный момент не может быть выражен через произведение потокосцепления взаимоиндукции и потокосцепления статора или ротора (_s, _m), (_r, _m).

Таким образом, можно использовать восемь уравнений для отыскания электромагнитного момента двигателя. При использовании любого из этих выражений результат будет один и тот же. Наиболее часто электромагнитный момент трехфазного асинхронного двигателя (K_ф = 3) рассчитывают по следующим равнозначным формулам:

; (3.17)

; (3.18)

; 3.19)

; (3.20)

; (3.21)

. (3.22)

В уравнениях (3.17) – (3.22) k_s, k_r – безразмерные коэффициенты (k_s = L_m/L_s, k_r = L_m/L_r),  = 1– L_m²/(L_s·L_r) – коэффициент рассеивания машины.

3.4. Математическая модель ад с короткозамкнутым ротором

Для асинхронного двигателя с фазным ротором при управлении по цепи обмотки статора и двигателя с короткозамкнутым ротором напряжение ротора равно нулю. Тогда систему уравнений (3.7) запишем в виде:

(3.23)

Чтобы получить математическое описание асинхронного двигателя с короткозамкнутым ротором требуется к системе уравнений электрического равновесия (3.23) добавить уравнения, которые связывают потокосцепления и токи соответствующих обмоток асинхронного двигателя (3.9) и зависимости электромагнитного момента (3.17) – (3.22). В уравнениях (3.9) и (3.23) вместо индексов (u, v) требуется подставить индексы выбранной системы координат (, ), (d, q) или (x, y).

Кроме того необходимо добавить уравнение движения, которое для одномассовой электромеханической системы (J – приведенный момент инерции) имеет вид: . (3.24)

Запишем в операторной форме (d/dt = p) систему уравнений асинхронного двигателя с короткозамкнутым ротором в неподвижной системе координат – осях , , когда _k = 0:

(3.25)

При этом на основании (3.8) и (3.9) будем иметь:

(3.26)

Окончательно для момента двигателя и скорости его вращения можно записать:

;

; (3.27)

ω_эл = ω_r = Z_pω.

В соответствии с уравнениями (3.25) – (3.27) составим структурную схему асинхронного двигателя (рис. 3.7).