29

ФГОУ ВПО «КАЛИНИНГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

КАФЕДРА ФИЗИКИ

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 109

ИССЛЕДОВАНИЕ МЕХАНИЧЕСКОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЁРДЫХ ТЕЛ НА УСТАНОВКЕ «ГРУЗОВОЙ БЛОК С ТОРМОЗНОЙ ПЛАНКОЙ»

Методическое указание к выполнению лабораторной работы по курсу общей физики для студентов инженерно-технических специальностей

Калининград

2008

ЦЕЛЬ РАБОТЫ:

1. Ознакомление с кинематикой и динамикой поступательного и вращательного движений твёрдых тел.

2. Определение линейных и угловых скоростей и ускорений.

3. Опытная проверка закона движения центра масс тела при постоянном ускорении.

4. Определение момента инерции блока, сил натяжения нити, трения на блоке и силы, действующей на ось блока.

5. Изучение энергетического баланса и определение коэффициента полезного действия (КПД) при опускании грузов.

1. Введение

1.1..Функционирование разнообразных машин и механизмов обеспечивается механическим движением твёрдых тел. Твёрдые тела обладают замечательным свойством - сохранять свою внешнюю форму и внутреннее строение при наличии силовых нагрузок на поверхностях, и это позволяет выполнять предварительные расчёты машин и механизмов на основе законов кинематики и динамики твёрдых тел. Для расчётов необходимо учитывать, какое движение совершают те или иные тела в данной установке.

Существует пять основных типов движения твёрдых тел: поступательное, вращательное, плоское, сферическое и свободное.

Полное исследование (с прикладными расчётами) этих типов движения выполняется в курсах теоретической механики (ТМ) и теории машин и механизмов (ТММ). В курсе общей физики приводятся начальные сведения о строении и моделях твёрдых тел (см. приложение 1) и основах кинематики и динамики поступательного и вращательного движений таких тел.

1.2. В лабораторной установке "Грузовой блок с тормозной планкой" (см. рис. 1) механическое движение совершают два тела. Груз на нити движется поступательно, массивный блок совершает вращательное движение.

Рис. 1

1- груз, 2 - блок, 3 - шкив (ступень на блоке с канавкой для нити),

4 - нить, 5 - тормозная планка

На рис. 1 показана часть лабораторной установки со схемами действующих сил: схема рис. 1а - без тормозной планки, схема рис. 1б - с тормозной планкой. Обе схемы даны для случая движения груза вниз со скоростью и ускорением . Блок при этом вращается с угловой скоростью и угловым ускорением . Направление поворота блока показано на схемах изогнутой стрелкой.

Примечание. Изогнутая стрелка на схемах рис. 1 с обозначением и показывает направление поворота блока при условии, что векторы и направлены в одну сторону, т. е. угловая скорость блока увеличивается. Действительные направления векторов и параллельны оси вращения (перпендикулярны плоскости рисунка), а проекции этих векторов на ось Y здесь имеют отрицательные знаки.

Другая изогнутая стрелка на схеме с обозначением показывает, что на блок действует пара сил с моментом, равным . Парой сил называется система из двух сил, равных по величине, противоположных по направлению и расположенных на разных (параллельных) линиях действия. Сумма таких сил всегда равна нулю, но результат действия пары оказывается "ненулевым" и определяется величиной и направлением момента пары сил.

Здесь пара сил приложена со стороны неподвижной оси в результате трения между блоком и осью. Вектор момента в данной схеме расположен параллельно оси вращения и имеет положительную проекцию на ось Y.

Все действующие силы и моменты сил в этой установке постоянны по величине и направлению, значит, линейное ускорение центра масс груза и угловое ускорение блока также постоянны. Условие стационарности сил и моментов сил позволяет применить для расчётов кинематических и динамических параметров простую систему уравнений для равнопеременного движения (т. е. движения с постоянными линейным и угловым ускорениями).

1.3. Центр масс блока неподвижен. Следовательно, сумма всех сил, приложенных к блоку, равна нулю (см. приложение 2).

На первой схеме рис. 1а показаны три силы, приложенные к блоку, где - сила тяжести блока, - натяжение нити в т. В, N - реакция оси блока, направленная вертикально вверх:

(1)

На второй схеме рис. 1б показаны пять сил, причём реакция оси здесь изменяет направление, так как необходимо уравновесить горизонтальную составляющую силы трения на тормозной планке и силы нормального давления Q:

(2)

Уравнения (1) и (2) применяются для расчёта силы, действующей на ось в т. Р. Очевидно, такая сила равна по величине и противоположна по направлению реакции .

Чтобы выполнить расчёты, следует уравнения (1) и (2) записать в виде проекций на оси системы координат, показанной на рис. 1.

Для первой схемы получим одно уравнение для оси Z:

(1а)

Для второй схемы получим два уравнения - для осей X и Z:

(2а)

Кроме силы тяжести (её можно найти при заданной массе блока), все остальные величины здесь неизвестны, и для их определения надо выполнить эксперимент и произвести дополнительные вычисления.

1.4. Динамика движения груза и блока описывается двумя векторными уравнениями. Для груза при поступательном движении - это уравнение Ньютона (второй закон динамики материальной точки - такой точкой на схеме рис. 1 является центр масс груза - т. С). Для блока - это уравнение динамики вращательного движения твёрдого тела:

(3а), (3б)

Здесь - масса груза; - ускорение центра масс груза (при поступательном движении его можно называть ускорением груза); - сумма сил тяжести и натяжения нити , приложенных к грузу; - момент инерции блока относительно оси в т. Р; - сумма моментов сил на блоке относительно т. Р; - угловое ускорение блока.

В первой схеме рис. 1а на блоке действуют момент сил трения на оси и момент силы натяжения нити, численно равный произведению силы , приложенной в точке В, на радиус шкива .

Во второй схеме рис. 1б к этим моментам сил добавляется момент силы трения на тормозной планке .

Запишем уравнения (3) в виде проекций на оси координат. Уравнение (3а) проектируется на ось Z, уравнение (3б) - на ось Y, параллельную оси вращения блока.

Получим для схемы рис. 1а:

(4а), (4б)

Для схемы рис. 1б:

(5а),(5б)

Здесь величина .

В опыте, который требуется провести на лабораторной установке, известна заранее масса груза на нити (соответственно, и сила тяжести ). Это значит, что два уравнения (4) содержат 5 неизвестных: . Два уравнения (5) содержат 6 неизвестных .

Таким образом, с точки зрения математики, системы уравнений (4) и (5) незамкнутые (число неизвестных больше числа уравнений), и теоретически задача нахождения неизвестных кинематических и динамических величин с помощью только этих уравнений не решается.

Необходимо увеличить число уравнений! Оказывается, в данном опыте это можно сделать, если учесть условие кинематической связи между ускорениями и , и использовать формулу для пути, пройденного центром масс груза за некоторое время с учётом его равноускоренного движения при спуске с заданной высоты h.

Условие кинематической связи имеет вид:

(6)

и обосновано тем, что при нерастяжимой нити ускорение центра масс груза равно вращательному ускорению т. В блока, где нить сходит с поверхности шкива (см. рис. 1); знак " - " в (6) появился, так как в заданной системе координат проекции ускорений и имеют противоположные знаки, и для получения положительного значения при опускании груза надо отрицательное значение умножить на (-1).

Путь равен высоте h, с которой груз опускается в опыте, имея начальную нулевую скорость:

(7)

Время t опускания груза с заданной высоты измеряется в опыте, и ускорение определяется выражением:

(8)

Примечание. Анализ, подобный выполненному в п. 1.4, необходим при решении любой научно-технической задачи, чтобы выяснить, какой эксперимент требуется поставить для определения, например, всех параметров проектируемой установки: машины, механизма и пр.

При этом обязательным является условие: эксперимент должен быть оптимально простым (т. е. недорогим), а его результаты должны дать все недостающие сведения для завершения теоретических расчётов.

В данном случае расчётные формулы имеют очень простой вид, так как выполняется условие стационарности действующих сил и моментов этих сил. Однако и эти формулы получены методом интегрирования законов кинематики и динамики, которые для таких расчётов записываются в дифференциальной форме.

Теперь представьте, что действующие силы (и моменты сил) нестационарные и могут зависеть от времени, скорости движения тел, угла поворота и т. п. Например, груз может опускаться не в воздухе, а в жидкости - тогда на груз действует сила сопротивления, зависящая от скорости. Или к тормозной планке можно приложить переменную силу, прижимающую планку к ободу блока.. В этих (и подобных) условиях теоретическое решение задачи становится сложнее, расчётные формулы могут иметь совсем иной вид. Разумеется, другими будут и условия, и программа экспериментальных исследований.

1.5. Уравнения, приведённые в п. 1.4, позволяют с помощью несложных прямых измерений высоты h и времени t опускания груза найти все кинематические и динамические параметры установки как результат косвенных измерений. Такими результатами здесь являются: угловое ускорение блока и линейное ускорение груза , натяжение нити S, моменты сил трения на оси и на тормозной планке ; момент инерции блока J. Используя эти данные, можно затем найти величину силы трения F_тр на тормозной планке, значения скоростей V и для груза и блока, величину силы, действующей на ось, вокруг которой вращается блок.

Кроме того, нетрудно рассчитать энергетический баланс установки, если рассматривать её как машину, преобразующую начальную потенциальную энергию груза в гравитационном поле в механическую энергию движущихся тел - груза и блока.

1.6. Для расчёта энергетического баланса надо найти, какая доля начальной энергии преобразуется в механическую энергию системы и какая – в другие формы энергии, в данном случае в тепловую.

Тепловую энергию получают (в основном) детали установки, и она затем рассеивается посредством излучения и теплообмена с окружающей средой. Эту часть энергии обычно называют «потерями энергии», так как в результате уменьшаются скорости механического движения. Потери энергии при движении груза и блока объясняются действием сил трения и сопротивления. Работа таких сил всегда равна величине потерь энергии.

В данной установке работой сил сопротивления можно пренебречь, так как движение происходит в воздухе с малыми скоростями. Преобразование некоторой части энергии в тепловую здесь надо рассматривать как результат работы сил трения на оси блока и тормозной планке.

Уравнение энергетического баланса всегда представляет собой математическую формулировку закона сохранения энергии и для машин любого типа записывается в следующем виде:

(9)

где Е₀ – начальная энергия; Е(t) – механическая (“полезная”) энергия машины в некоторый заданный момент времени t; Е_S – потери энергии.

При условии, что Е_S = 0 из (9), получаем, что отношение . Отношение “полезной” энергии к начальной, израсходованной энергии называется коэффициентом полезного действия (КПД) и обозначается:

(10)

В реальных установках всегда , так как имеются потери энергии.

Для установки “Грузовой блок с тормозной планкой” уравнение энергетического баланса записывается в виде:

(11)

где Т – кинетическая энергия системы в конечный момент времени спуска; П – начальная потенциальная энергия.

Величина П=mgh определяет начальную потенциальную энергию, равную работе подъёма груза на высоту h. Кинетическая энергия равна сумме энергий механического движения груза и блока:

(12)

где J_p - момент инерции блока относительно оси вращения; V и - линейная и угловая скорости груза и блока в конечный момент времени спуска.

Учитывая, что (т. к. скорость груза равна скорости точки В на шкиве), и формулу (8), где , можно преобразовать (12) к виду:

(13)

Примечание. В лабораторной работе №6 «Исследование преобразования энергии на установке «Машина Обербека» приведены более подробные сведения о понятии энергии и о законе сохранения энергии.