4.1.5. Метод итераций (метод последовательных приближений).
Одним из наиболее распространенных методов уточнения корней уравнения при решении инженерных задач является итерационный метод или метод последовательных приближений. Метод простой итерации используется для решения нелинейного уравнения с выделенным линейным членом вида
x=U(x), |
(4.4) |
и состоит в построении последовательности х, начиная от некоторого заданного начального значения х по правилу
Xn+1=U(Xn) , n=0, 1, 2, 3… |
(4.5) |
Если U(x)
- непрерывная функция, а Xn-
последовательность, которая сходится,
то значение
есть решение уравнения (4.4). Построение
нескольких последовательных приближений
за (4.5) приведено на рис 4.7.
Рис.4.7.
Преобразование решения с целью выделения линейного члена можно провести разными путями. Например, если f(x)=x2-c=0, то можно
а) прибавить к правой или левой части х: x=x2+x-c
б) поделить все составные на х: х=с/х и т.д.
Условия сходимости. Если |U'(x)|<1, то процесс сходится, если же |U'(x)|>1, то расходится. Неравенство надо проверять для всех х, вычисленных в ходе решения. Сходимость метода итераций зависит от выбора вида уравнения с выделенным линейным членом. При неудачном выборе можно получить расходящийся процесс.
Пример
Необходимо решить уравнения: x3+x=1000. Априорно известно, что корень находится в границах [9;10].
Найти корень уравнения с точностью =10-4.
Начальное решение можно записать в виде:
X=1000-x3 |
(a) |
Или |
|
X=(1000-x)1/3 |
(б) |
Проанализируем полученное уравнение.
Уравнение (а) не подходит, так как |U'(x)|=|-3x2|>1.
Для уравнения (б): |U'(x)|=|-1/3*(1000-x)-2/3|<1
Вычисляем последовательные приближения Xn по формуле Yn=1000-Xn; Xn+1=(Yn)1/3 (n=0, 1, 2, 3...).
Найденные значения (вычисленные с одним запасным знаком) приведены в таблице 4.1.
Таблица 4.1
-
n
Xn
Yn
0
10
990
1
9.6655
990.03345
2
9.96666
990.03345
3
9.96667
Исходя из того что |X3-X2|< , можно принять, х= 9.96667
4.2. Численное решение систем линейных алгебраических уравнений
4.2.1. Теоретические сведения
Пусть дана система n линейных алгебраических уравнений с n неизвест-ными:
a11*x1+ a12*x2 + ..... + a1n*xn =b1 a21*x1+ a22*x2 + ..... + a2n*xn =b2 ..... aN1*x1+ aN2*x2 + ..... + aNN*xN =bNN |
(4.6) |
или в матричном виде:
AX=b |
(4.7) |
Где:
-матрица коэффициентов,
- столбец свободных членов и столбец неизвестных
соответственно.
Коэффициенты системы (4.6) характеризуются двумя индексами. Первый индекс і - определяет номер сроки, второй -j - номер столбца. Решение системы (4.6) означает нахождение таких значений неизвестных, при подстановке которых в исходную систему любое из уравнений превращается в тождество. Если матрица A неособенная, то
, и система (4.6) имеет единственное решение.
Способы решения систем линейных уравнений (СЛР) в основном делятся на две группы:
1. Точные методы, которые представляют собой конечные алгоритмы для вычисления корней системы (правило Крамера, метод Гаусса, метод главных элементов, метод квадратных корней и прочие).
2. Итерационные методы, которые дают возможность получать корни системы с заданной точностью путем сходящихся бесконечных процессов (метод итераций, метод Зейделя, метод релаксации).