Лабораторная работа № 14 «Определение времени и средней силы соударения упругих шаров»

Цель работы: изучить применение законов сохранения к теории абсолютно упругого и абсолютно неупругого ударов; экспериментально определить среднее время и среднюю силу соударения упругих шаров.

Приборы и принадлежности:

1. Опытная установка.

2. Генератор импульсов.

3. Счетчик импульсов ПСО2 – 4.

4. Источники постоянного напряжения на 6В и 12В, и переменного напряжения на 220В.

5. Соединительные провода.

Краткая теория

Основными законами сохранения для замкнутой системы тел (материальных точек) являются: закон сохранения энергии и закон сохранения импульса (момента импульса).

Замкнутой, или изолированной системой тел (материальных точек) называется система, на которую не действуют внешние силы или действие их скомпенсировано ( ).

Закон сохранения импульса:

В изолированной системе геометрическая сумма импульсов входящих в нее тел остается постоянной.

где и - масса и скорость -ой материальной точки системы, состоящей из точек.

Общий закон сохранения энергии:

энергия никогда не исчезает и не возникает из ничего, она переходит от одного тела к другому, из одной формы в другую.

Эти основные законы сохранения используются для установления соотношений между различными величинами при столкновениях (взаимодействиях) тел.

Ударом называется кратковременное взаимодействие тел, возникающее в результате их столкновения.

Удар называется центральным, если силы, возникшие при взаимодействии тел, проходят через их центры масс.

1. Абсолютно упругий удар - это такой удар, в результате которого механическая энергия соударяющихся тел не преобразуется в другие виды энергии. При этом не происходит потери механической энергии: кинетическая энергия движущихся тел переходит в потенциальную энергию упругой деформации; затем тела восстанавливают свою первоначальную форму и потенциальная энергия опять переходит в кинетическую. После удара происходит перераспределение кинетической энергии и тела движутся с разными скоростями.

Пусть два абсолютно упругих шара с массами и движутся до удара поступательно со скоростями и , направленными вдоль оси ОХ, проходящей через их центры масс. Соударение может произойти: 1) если шары движутся навстречу друг другу, или 2) один из шаров догоняет другой. Рассмотрим второй случай (рис. 1, а). Тогда > > 0. Определим скорости шаров и после удара (рис. 1, б).

Считаем, что шары образуют замкнутую систему, и вращение шаров отсутствует. Запишем уравнение закона сохранения импульса:

(1)

Так как все скорости направлены вдоль оси ОХ, то это выражение можно заменить следующим алгебраическим уравнением:

(1^*)

где - проекции соответствующих векторов скоростей на линию удара – ось ОХ.

Потенциальную энергию шаров до и после удара можно считать равной нулю, так как шары не деформированы. Следовательно, выполняется закон сохранения кинетической энергии:

. (2)

Сокращая уравнение (2) на 2, запишем уравнения (1^*) и (2), как систему, которую необходимо совместно решить для определения скоростей и .

Перенесем слагаемые, относящиеся к влево, а к - вправо:

(2*)

Разделим уравнение (2*) на уравнение (1*):

Умножим последнее равенство на и сложим с уравнением (1*):

_{Получим:}

_.

_Откуда

_{. (3)}

_{Аналогично можно получить:}

. (4)

Рассмотрим частные случаи.

а) Массы шаров одинаковы: . Тогда из выражений (3) и (4) имеем , то есть при ударе шары обмениваются скоростями. Если в частности до удара второй шар был неподвижен ( ), то после удара первый шар остановится ( ), а второй шар будет двигаться со скоростью первого ( ) в том же направлении.

б) Масса второго шара во много раз больше массы первого шара (  ). Тогда из выражения (3) следует, что

(5)

Скорость более массивного шара почти не меняется .

Из выражения (4) получим:

. (6)

В частном случае, если более массивный шар покоился , то а (из выражения (5)), то есть скорость более легкого шара в результате удара изменяется только по направлению и шар, отскочив, движется в обратную сторону со скоростью . Например, упругий удар молекулы о стенку сосуда.

2. Абсолютно неупругий удар - это такой удар, в результате которого тела не восстанавливают свою первоначальную форму, при этом часть кинетической энергии переходит в энергию деформации и в конечном счете - в тепловую (внутреннюю) энергию. После удара тела движутся как одно целое, то есть с одинаковой скоростью.

При абсолютно неупругом ударе выполняется закон сохранения импульса. Закон же сохранения механической энергии не соблюдается: имеет место общий закон сохранения полной энергии - механической и внутренней.

Пусть два неупругих тела с массами и движутся вдоль оси _{ОХ, проходящей через их центры масс, со скоростями и вдоль этой оси (рис. 2, а). Тогда после центрального абсолютно неупругого удара их общая скорость поступательного движения будет , направленная также вдоль оси ОХ (рис. 2, б).}

Для определения скорости тел после удара достаточно записать закон сохранения импульса: , или в проекциях на ось ОХ: , (7) откуда (8) Закон сохранения полной энергии для абсолютно неупругого удара запишется так:

.

, (9)

где - энергия, затраченная на деформацию тел. Определим .

.

Подставляя в последнее выражение значение скорости из формулы (8), получим:

. (10)

На практике используют абсолютно неупругий удар для изменения формы тел (ковка, штамповка, клепка и т.п.), для перемещения тел в среде (забивание гвоздей, свай и т.п.). В первом случае необходимо, чтобы энергия , затраченная на деформацию, была бы наибольшей. Это возможно, если масса неподвижного тела (наковальни) много больше массы движущегося тела (молота). В этом случае почти вся кинетическая энергия молота пойдет на деформацию наковки.

В самом деле, при

. (11)

( кинетическая энергия молота). Из последнего выражения видно, что максимальное значение будет при  .

Если целью удара является перемещение одного из тел, то расход энергии на деформацию должен быть минимальным. При справедливо выражение (11), откуда следует, что , если , то есть если  . Следовательно, масса движущегося тела должна быть много больше массы неподвижного тела (молоток - гвоздь). Тогда почти вся кинетическая энергия движущегося тела передается неподвижному телу, и этим обеспечивается его движение.