Лекция № 5 Уравнение Шредингера
В классической механике движение материальной точки описывается вторым законом Ньютона. Для движения вдоль оси Х он имеет вид:
.
Однако, микрочастицы обладают еще и волновыми свойствами. Поэтому для описания их движения должно быть использовано другое уравнение. Такое уравнение впервые было найдено Э.Шредингером и носит его имя. Оно является основным уравнением квантовой механики.
Подобно тому, как уравнения динамики Ньютона не могут быть получены теоретически, а представляют собой обобщение большого числа опытных фактов, уравнение Шредингера так же нельзя вывести из каких-либо известных ранее соотношений. Его следует рассматривать как исходное основное положение, справедливость которого доказывается тем обстоятельством, что все вытекающие из него следствия хорошо согласуются с опытными фактами.
Для того, чтобы
уравнение движения микрочастиц учитывало
их волновые свойства, необходимо чтобы
это уравнение было волновым. Как мы уже
знаем, корпускулярные и волновые свойства
микрочастиц характеризуются волновой
функцией
.
Волновое уравнение для нее записывается
как:
,
(1)
здесь
-
скорость распространения волны де-Бройля.
Решением этого уравнения будет функция
,
где х – текущая координата.
Продифференцировав эту функцию то t получим
.
Продифференцировав еще раз, найдем, что:
.
Так как
,
то
.
Подставив это
значение
в волновое уравнение для
функции
(формула 1), получим:
.
Так как
,
то
.
В свою очередь длина волны де-Бройля
.
Тогда
.
Следовательно,
.
Представим
произведение
как
,
где
;
Е – полная энергия частицы;
U – потенциальная энергия частицы.
С учетом этого, наше уравнение примет вид:
- уравнение
Шредингера.
Это уравнение справедливо для случая, когда микрочастица движется вдоль оси Х.
В общем случае, когда частица движется в любом произвольном направлении в пространстве, уравнение Шредингера имеет вид:
,
где
.
В заключение следует отметить, что уравнение Шредингера справедливо для скоростей движения частицы значительно меньших скорости света.
Волновое уравнение для скоростей сравнимых со скоростью света было получено Дираком. Рассмотрение его выходит за рамки нашего курса.
Электрон в «потенциальном» ящике
Уравнение Шредингера позволяет решать практические задачи и находить различные состояния частиц в разных внешних полях. Отдельные важные примеры могут быть разобраны и без полного решения уравнения Шредингера, используя лишь представление о волновой функции и учитывая ограничения, накладываемые на нее специфическими условиями данной задачи.
И
сследуем
поведение частицы в бесконечно глубокой
одномерной потенциальной яме. Предположим,
что частица может двигаться только
вдоль оси Х
и ее движение ограничено координатами
и
.
Соответственно, потенциальная энергия
частицы равна нулю при
и
при
и
(см. рис.), то есть электрон находится в
потенциальной яме.
За пределы потенциальной ямы электрон попасть не может. Поэтому вероятность обнаружения частицы за пределами ямы равна нулю и, следовательно,
.
Так как внутри
потенциального ящика
уравнение Шредингера принимает вид:
.
Решениями этого уравнения будут функции
,
,
где
.
Второе решение не
удовлетворяет нашим граничным условиям,
так как при
,
а как мы знаем
.
Остается только первое решение .
При
должно быть также равно нулю. Следовательно,
и
,
где
Откуда
.
(1)
Запишем
формулу
для кинетической энергии микрочастицы
,
как
,
где
- импульс частицы.
Длина волны
де-Бройля связана с импульсом частицы
соотношением
,
о
ткуда
.
Тогда
.
Подставив вместо
ее значение из формулы (1), получим
.
Мы получим очень
важный результат: энергия
микрочастицы, находящейся в «потенциальном
ящике», может иметь только дискретный
ряд значений
,
соответствующий значениям
.
Эти
значения называются уровнями
энергии,
а число
-
квантовым
числом.
Таким образом, согласно уравнению Шредингера, энергия микрочастицы квантуется, а энергетический спектр частица – дискретный.
Следует
отметить, что при
энергия микрочастицы не равна нулю, а
равна
.
Эту энергию называют нулевой.
Она
показывает, что микрочастицы никогда
не прекращают свого движения.