1. Множества и операции над ними

Основные умения: определять характеристическое свойство элементов множества, устанавливать принадлежность элемента множеству, определять отношения между заданными множествами и изображать их при помощи кругов Эйлера; выполнять операции над множествами; производить разбиение множества на классы при помощи свойств и оценивать правильность выполненной классификации; решать простейшие комбинаторные задачи; выявлять теоретико-множественный смысл заданий, выполняемых школьниками с целью переноса материала темы на школьный уровень.

1.Назовите известные вам названия множеств

1. военнослужащих;

2. живых существ;

3. множеств людей.

2. Как называются множества

1. людей, работающих в одном театре;

2. цветов, стоящих в одной вазе;

3. точек земной поверхности, имеющих одинаковую долготу;

4. точек земной поверхности, имеющих одинаковую широту.

3. Принадлежит ли число указанному множеству? Ответ запишите с применением символики.

1. 2 множеству (2;10);

2. 2) множеству ;

3. 0 Множеству ;

4. 72 множеству Q;

5. 5) множеству Z;

6. - 9 множеству N;

7. 7) множеству Z.

4. Задайте перечислением элементов множество, заданное характеристическим свойством:

1. A= ;

2. A= ;

3. A= .

5. В заданном множестве все элементы, кроме одного, обладают некоторым свойством. Опишите это свойство и найдите элемент, не обладающим им:

1. {треугольник, квадрат, трапеция, круг, правильный шестиугольник};

2. {лев, лисица, гиена, слон, рысь};

3. {бежать, смотреть, синий, знать, писать};

4. {2,6,15,84,156};

5. {2,7,13,16,29};

6. {1,9,67,81,121}.

6. Опишите множество точек М на плоскости, таких, что:

1. {М/ОМ=R};

2. {M/OM R};

3. {M/AM=BM};

4. {M/AM=BM=CM}.

7. Изобразите при помощи кругов Эйлера отношение между множествами А, В и С, если:

1. А-множество равносторонних треугольников; В- множество равнобедренных треугольников; С-множество прямоугольных треугольников.

2. А-множество чисел, кратных 8; В- множество чисел, кратных 16; С - множество чисел, кратных 3.

3. А-множество правильных многоугольников; В- множество четырехугольников; С- множество прямоугольников.

8. Даны множества: А={a, b, c, d}, B={a, b, 4}, C={4, 2,c}, D={a, b, 3}, E={1, b}

Найдите a, b, c, d, зная, что .

9. M={12, 20, 35}, N={12, 20, 48, 60, 90}, K={48, 60, 90}. Запишите с помощью фигурных скобок или знака :

1. пересечение множеств M и N;

2. пересечение множеств M и K;

3. пересечение множеств N и K;

4. объединение множеств M и N;

5. объединение множеств N и K;

6. объединение множеств M и K;

7. дополнение K до N;

8. дополнение до M.

10. M=[0;4], N=[1;5]. Найдите пересечение, объединение и разность этих множеств.

11. Что из себя представляет множество решения каждого из уравнений системы:

Какую операцию над этими множествами выполняют, когда ищут решение самой системы? Решите систему.

12. Решите уравнение (х²-4)(х²-9)=0. С какой операцией над множествами связано решение этого уравнения? Решите уравнение.

13. Объясните, с какой операцией над множествами связано решение неравенства х²-4х+3>0 и почему?

14. Даны множества: А–множество студентов группы, В–множество студентов группы, получивших за контрольную работу по математике положительную оценку, С–множество студентов группы, сдавших экзамен по математике, причем С В≠ .

Укажите характеристическое свойство элементов каждого из множеств, изобразив их при помощи кругов Эйлера:

1)А В С; 2)А В С; 3)А\В С; 4)(А\В) (A\C).

15. Докажите при помощи кругов Эйлера верность равенств:

1. А (В\С)=(А В)\(А С);

2. (А В)\С=(А\С) (В\С);

3. А\(В С)=(А\С) (А\С);

4. А\(В С)=(А\В) (А\С).

16. Выполнение каких условий необходимо проверить для оценки правильности проведенной классификации?

17.При ответе на вопрос, верно ли произведено разбиение всех параллелограммов на квадраты, прямоугольники и ромбы, студент ответил так: « Неверно, потому что множества квадратов, ромбов и прямоугольников пересекаются». Есть ли в его рассуждениях ошибка и, если есть, то какая?

18. Какие шаги необходимо выполнить, чтобы произвести разбиение множества на классы?

19. Объясните, как вы будете разбивать множество натуральных чисел на классы:

1. при помощи одного свойства «делиться на 4»;

2. при помощи двух свойств «быть кратным четырем» и «быть кратным трем».

20. Множество Х={-1;1}, Y={-4;4} Найдите декартово произведение этих множеств и изобразите его на координатной плоскости.

Как изменится изображение декартово произведения, если:

1. множество Х изменится: X=[-1;1], а множество Y останется тем же;

2. множество Y изменится: Y=[-4;4] , а множество X не изменится;

3. изменятся оба множества: X=[-1;1], Y=[-4;4].

21. В одном множестве 40 элементов, а в другом 30. Сколько элементов может быть в их: а) пересечении; б) объединении? От чего зависит количество элементов в этих множествах? Покажите это при помощи кругов Эйлера.

22. Каждый ученик класса изучает английский или французский язык. Английский изучают 25 человек, французский – 27 человек, а всего в классе 34 человека. Возможно ли это? Почему?

23. Расположи 5 точек в множествах А и В ( А∩В ) так, чтобы:

а) в одном из них было 2 точки, а в другом 4;

б) в каждом из них было по 3 точки;

в) в одном из них было 3 точки, а в другом 5;

г) в каждом их них было по 4 точки;

д) в одном из них было 2 точки, а в другом 5.

24. В классе 24 ученика. Музыкой занимаются 12 человек, танцами – 10, два эти кружка посещают 3 человека, занимаются музыкой и поют в хоре – 6, поют в хоре и занимаются танцами – 2, а один ученик занимается во всех трех кружках. Все остальные ученики класса посещают только занятия хора. Сколько всего учеников этого класса поют в хоре?

Пусть заштрихованный круг изображает множество учащихся, занимающих музыкой. Выделите в нем четыре подмножества и определите количество элементов в каждом подмножестве. Проверьте сложением, получилось ли у вас число 12, т.к. музыкой занимаются по условию 12 человек.

Объясните, какое условие в задаче помогает установить, что рисунок к задаче будет именно такой, т.е. объединение этих множеств дает множество учащихся класса. Решите задачу.