![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •3.1. Основные определения
- •3.2. Действия с матрицами
- •3.2.2. Умножение матриц
- •3.3. Абсолютная величина и норма матрицы
- •4.2 Вычислительная устойчивость методов решения слау
- •4.3 Методы исключения
- •4.3.1 Схема единственного деления
- •4.3.2 Метод Жордана
- •4.3.3 Метод оптимального исключения
- •4.3.4 Метод Гаусса с выбором главного элемента
- •4.4 Методы, основанные на разложении матриц
- •4.4.1. Схема Холецкого
- •4.4.2 Метод квадратного корня
- •4.4.3 Метод отражений
- •4.4.4 Метод вращений
- •4.5 Методы, основанные на построении вспомогательной системы векторов
- •4.5.1 Метод ортогонализации
- •4.5.2 Метод сопряженных градиентов
4.4.3 Метод отражений
Этот
метод основан на разложении матрицы
системы (4.1) в произведение унитарной
матрицы на верхнюю треугольную. Матрица
называется унитарной, если она
удовлетворяет уравнению
,
где
- матрица, сопряженная с
.
Вещественные унитарные матрицы называются
ортогональными.
По своей структуре метод отражений близок к методу Гаусса, но исключение проводится с помощью матриц отражения, которые являются унитарными и эрмитовыми. Достоинством метода отражений является единая схема вычислительного процесса, не зависящая от структуры матрицы.
Теорема
4.2. Пусть
и
произвольные вектор-столбцы, причем
вектор
имеет единичную длину. Тогда найдется
такой вектор
,
что построенная по нему матрица отражения
переведет вектор
в вектор, коллинеарный вектору
,
т.е.
.
Вектор строится по правилу
,
(4.16)
где
,
,
.
Будем преобразовывать расширенную матрицу систему по правилу
,
с
помощью умножения слева на последовательность
матриц отражения
.
Для построения матрицы
на первом шаге метода в качестве вектора
берется первый столбец расширенной
матрицы, а в качестве вектора
- координатный вектор
.
В силу выбора векторов
и
все координаты первого столбца расширенной
матрицы, кроме первой, после выполнения
первого шага метода будут равны нулю.
Пусть
уже построена матрица
,
у которой
,
,
.
Теперь в качестве
и
берутся вектора
,
,
где
в векторе
единица стоит на
-ом
месте. После выполнения
-го
шага метода отражений получим матрицу
,
у которой все элементы, стоящие ниже
главной диагонали, в первых
-ом
столбцах будут равны нулю. Невозможность
выполнения очередного шага связана
только с равенством нулю вектора
,
а это невозможно, так как матрица
является невырожденной.
После
-
шага получим матрицу, первые
столбцов которой образуют верхнюю
треугольную матрицу
.
Система уравнений, соответствующая
полученной расширенной матрице,
равносильна исходной системе (4.1).
Значения неизвестных находятся аналогично
обратному ходу метода Гаусса
,
,
Для
решения системы линейных алгебраических
уравнений методом отражений необходимо
выполнить
операций умножения и деления, а также
извлечений квадратных корней.
Пример.
Решить систему линейных алгебраических уравнений методом отражений
Решение: По системе уравнений составим матрицу
.
Шаг 1.
,
,
,
,
,
,
,
,
.
Тогда
.
Шаг 2.
,
,
,
,
,
,
,
,
.
Тогда
.
Шаг
3. Исходная
система преобразована к системе с
верхней треугольной матрицей. Пользуясь
обратным ходом метода Гаусса, находим
,
,
.
4.4.4 Метод вращений
Вещественные унитарные матрицы
называются
элементарными матрицами вращения или
матрицами простого поворота. При
умножении матрицы
слева на матрицу
получим матрицу
,
у которой изменятся в отличие от матрицы
только
-я
и
-я
строки. Изменение элементов
-й
и
-й
строк осуществляется по формулам
,
.
(4.17)
Всегда
можно подобрать угол поворота
так, чтобы элемент
оказался
равным нулю. Для этого нужно взять
,
,
(4.18)
если
,
и
,
в противном случае.
Теорема 4.3. Любая действительная матрица преобразуется в верхнюю треугольную матрицу после умножения слева на конечную цепочку матриц простого поворота .
Рассмотрим
систему (4.1) и построим для матрицы
системы унитарную матрицу
так, чтобы матрица
преобразованной системы стала верхней
треугольной. Тогда система преобразуется
к виду
.
Матрица
представляет собой произведение
унитарных матриц простого поворота
.
Матрица
строится так, чтобы после умножения
обнулить элемент
,
стоящий под главной диагональю. В этом
случае угол поворота выбирается по
формулам (4.18).
Пример.
Решить систему линейных алгебраических уравнений методом вращений.
.
Решение: По системе уравнений составим матрицу
.
Шаг
1. В матрице
обнулим элемент
.
Для этого возьмем
,
,
и построим матрицу вращений
.
Получаем
,
,
.
Тогда
.
Шаг
2. Обнулим
элемент
в матрице
.
Для этого берем
,
,
и строим матрицу
.
Имеем
,
,
,
.
Шаг
3. Обнулим
элемент
в матрице
.
Для этого берем
,
,
и строим матрицу
.
Имеем
,
,
,
.
Шаг 4.
Исходная система преобразована к системе
с верхней треугольной матрицей. Пользуясь
обратным ходом метода Гаусса, находим
,
,
.
ЛЕКЦИЯ № 11