3.3. Абсолютная величина и норма матрицы

Неравенство А ≤ В между матрицами А = [а_ij ] и B =[b_ij ] одинаковых типов обозна­чает, что а_ij ≤ b_ij . В этом смысле не всякие две матрицы сравнимы между собой.

Под абсолютной величиной (модулем) матрицы А= [а_ij ] будем понимать матрицу | А| = [| а_ij| ]

где | а_ij| — модули элементов матрицы А.

Если А и В— матрицы, для которых операции А + В и АВ имеют смысл, то:

а) | А + В | ≤ | А | + | В |;

б) | А В | ≤ | А | · | В |;

в) | α А | = | α | · | А |; ||||

(α — число).

Под нормой матрицы А = [а_ij ] понимается действительное число || A ||, удовлетворяющее условиям:

а) ||A|| ≥ 0, причем ||A]| =0 тогда и только тогда, когда A = 0;

б) || α А || = | α | · ||А ||( α — число) и, в частности, || - А || = ||А ||;

в) || А + В || ≤ || А || + || В ||;

г) || А В || ≤ || А || · || В ||;

(А и В — матрицы, для которых соответствующие операции имеют смысл).

В дальнейшем для матрицы А = [а_ij ] произвольного типа мы будем рассматривать главным образом три легко вычисляемые нормы;

1) || А || _m = | а_ij| (т-норма);

2) || А || _l = | а_ij| (l-норма);

3) || А || _l = (k -норма).

ЛЕКЦИЯ № 7

4. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ

АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

4.1 Классификация методов решения систем линейных

алгебраических уравнений

К решению систем линейных алгебраических уравнений сводится подавляющее большинство задач вычислительной математики. В настоящее время предложено огромное количество алгоритмов решения таких систем.

Все методы решения линейных алгебраических уравнений можно разделить на две большие группы: прямые и итерационные. В прямых (или точных) методах решение системы находится за конечное число арифметических действий. Итерационные методы позволяют найти за конечное число итераций приближенное решение системы с любой наперед заданной точностью .

Примером прямого метода решения СЛАУ служит метод Крамера, в соответствии с которым

, .

Однако на практике этот метод не используется, так как он требует выполнения очень большого количества арифметических операций. Большая часть существующих прямых методов укладывается в следующую схему. Пусть задана система

(4.1)

линейных алгебраических уравнений. Умножим обе части равенства (4.1) слева на такие матрицы , при которых новая система

(4.2)

равносильна исходной и легко решается. Для этого достаточно, чтобы матрица

была треугольной или диагональной. Методы, основанные на подобных преобразованиях, составляют в настоящее время самую значительную группу среди численных методов задач алгебры.

Одним из старейших является метод Гаусса, в основе которого лежит идея последовательного исключения неизвестных. Он использует левые треугольные матрицы и позволяет свести исходную систему уравнений к системе с правой треугольной матрицей. Этот метод легко реализуется на компьютере, его схема с выбором главного элемента позволяет решать системы с произвольной невырожденой матрицей, а компактная схема – получить результаты с повышенной точностью. Среди всех прямых методов метод Гаусса требует минимального объема вычислений.

Непосредственно к методу Гаусса примыкают метод Жордана и метод оптимального исключения. Эти методы используют треугольные матрицы (как левые, так и правые) и позволяют привести исходную систему к системе с диагональной матрицей. Метод оптимального исключения позволяет при заданном объеме оперативной памяти решать системы более высокого порядка, чем метод Жордана.

Перечисленные методы входят в группу методов исключения. Это название объясняется тем, что при каждом умножении на матрицу в матрице системы исключается один или несколько элементов. Существуют методы решения систем, которые сочетают в себе как свойства прямых методов, так и итерационных. Как итерационные они построены на минимизации некоторого функционала, достигающего своего минимума на решении системы (4.1). Однако итерации обрываются не позднее чем на -ом шаге ( - порядок системы), давая точный ответ. К таким методам относится метод сопряженных градиентов.