Динамика вращательного движения

Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела

,

где – суммарный момент внешних сил, приложенных к телу относительно оси вращения; J – момент инерции тела относительно той же оси; – угловое ускорение.

В динамике вращательного движения различают два понятия: момент силы относительно точки и момент силы относительно оси вращения.

Момент силы относительно точки О определяется как векторное произведение

,

где – сила; – радиус-вектор, проведенный из точки О в точку приложения силы.

Момент силы относительно оси вращения есть проекция на произвольную ось z, которая проходит через точку О:

,

где l – плечо силы, т.е. кратчайшее расстояние от оси до линии действия силы.

Момент инерции тела является мерой инертности тела при вращательном движении, подобно тому, как масса тела является мерой инертности тела при поступательном движении. Момент инерции тела зависит от распределения массы тела относительно оси вращения. Для вычисления момента инерции твердого тела относительно данной оси разобьем мысленно тело на большое число малых элементов объема dV – материальных точек (см. рисунок). Тогда момент инерции элемента объема dV относительно оси вращения ОО'

,

а полный момент инерции тела

,

где dm = dV – масса элемента объема dV; r_i – расстояние до оси вращения;  – плотность вещества в элементе объема dV.

Таким образом, задача нахождения момента инерции тела относительно оси вращения сводится к интегрированию.

Следует подчеркнуть, что момент инерции не зависит ни от момента внешних сил , ни от углового ускорения.

Для расчетов моментов инерции относительно произвольной оси может быть использована теорема Штейнера. Согласно ей, момент инерции J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции тела J_c относительно оси, проходящей через центр инерции тела параллельно рассматриваемой оси, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями:

В общем случае расчет момента инерции представляет собой достаточно сложную задачу, и часто он определяется экспериментально с помощью основного уравнения динамики вращательного движения, методом крутильных колебаний и др.

Момент импульса материальной точки определяется как векторное произведение:

,

где m – масса материальной точки; – ее скорость; – расстояние от точки до оси вращения.

Момент импульса материальной точки

L = mvr.

Момент импульса твердого тела, вращающегося вокруг некоторой оси,

,

где J – момент инерции тела;  – угловая скорость вращения.

Закон сохранения момента импульса в замкнутой системе формулируется следующим образом: суммарный момент импульса всех тел замкнутой системы остается постоянным .

Кинетическая энергия вращающегося тела

.

Работа 4. Определение моментов инерции параллелепипеда методом крутильных колебаний

Цель работы – определить моменты инерции прямоугольного параллелепипеда относительно трех взаимно перпендикулярных осей, проходящих через центр масс, с помощью крутильных колебаний.